Imaginez qu’une grille d’hexagones, en forme de nid d’abeille, s’étend devant vous. Certains hexagones sont vides ; d'autres sont remplis par une colonne de béton solide de 6 pieds de haut. Le résultat est une sorte de labyrinthe. Depuis plus d’un demi-siècle, les mathématiciens se posent des questions sur ces labyrinthes générés aléatoirement. Quelle est la taille du plus grand réseau de chemins dégagés ? Quelles sont les chances qu’il y ait un chemin allant d’un bord au centre de la grille et revenant ensuite ? Comment ces chances changent-elles à mesure que la grille grossit, ajoutant de plus en plus d’hexagones à ses bords ?

Il est facile de répondre à ces questions s’il y a beaucoup d’espace vide ou beaucoup de béton. Supposons que chaque hexagone se voit attribuer son état au hasard, indépendamment de tous les autres hexagones, avec une probabilité constante sur toute la grille. Il pourrait y avoir, disons, 1 % de chances que chaque hexagone soit vide. Le béton encombre la grille, ne laissant que de petites poches d’air entre les deux, ce qui rend pratiquement nulle la possibilité de trouver un chemin vers le bord. D’un autre côté, s’il y a 99 % de chances que chaque hexagone soit vide, il n’y a qu’une fine pincée de murs en béton, ponctuant des étendues d’espace ouvert – ce qui n’est pas vraiment un labyrinthe. Trouver un chemin du centre vers le bord dans ce cas est une quasi-certitude.

Pour les grands réseaux, il y a un changement remarquablement soudain lorsque la probabilité atteint 1/2. Tout comme la glace fond en eau liquide à exactement zéro degré Celsius, le caractère du labyrinthe change radicalement à ce point de transition, appelé probabilité critique. En dessous de la probabilité critique, la majeure partie de la grille se trouvera sous le béton, tandis que les chemins vides aboutiront invariablement à des impasses. Au-delà de la probabilité critique, d’immenses étendues restent vides et ce sont les murs de béton qui sont sûrs de disparaître. Si l’on s’arrête exactement à la probabilité critique, le béton et le vide s’équilibreront, sans qu’aucun des deux ne puisse dominer le labyrinthe.

"Au point critique, ce qui émerge est un degré plus élevé de symétrie", a déclaré Michael Aizenman, physicien mathématicien à l'Université de Princeton. "Cela ouvre la porte à un énorme corpus de mathématiques." Il a également des applications pratiques dans tous les domaines, depuis la conception de masques à gaz jusqu’aux analyses de la propagation des maladies infectieuses ou de la manière dont le pétrole s’infiltre à travers les roches.

Dans un article publié l'automne dernier, quatre chercheurs ont finalement calculé la probabilité de trouver un chemin pour un labyrinthe avec une probabilité critique de 1/2.

Une course aux armements

Doctorant en France au milieu des années 2000, Pierre Nolin étudié le scénario de probabilité critique en détail. Le labyrinthe aléatoire, pense-t-il, est « un très beau modèle, peut-être l’un des modèles les plus simples que l’on puisse inventer ». Vers la fin de ses études doctorales, qu'il a terminées en 2008, Nolin a été captivé par une question particulièrement difficile sur le comportement d'une grille hexagonale à la probabilité critique. Supposons que vous construisiez une grille autour d'un point central, de manière à ce qu'elle se rapproche d'un cercle, et que vous construisiez votre labyrinthe au hasard à partir de là. Nolin voulait explorer la possibilité que vous puissiez trouver un chemin ouvert qui s'étend du bord vers le centre et recule, sans revenir sur lui-même. Les mathématiciens appellent cela un chemin monochromatique à deux bras, car les « bras » intérieurs et extérieurs sont tous deux sur des chemins ouverts. (Parfois, ces grilles sont considérées de manière équivalente comme étant constituées de deux couleurs différentes, par exemple bleu clair et bleu foncé, plutôt que de cellules ouvertes et fermées.) Si vous augmentez la taille du labyrinthe, la longueur du chemin nécessaire augmentera également. , et les chances de trouver un tel chemin deviendront de plus en plus petites. Mais à quelle vitesse les chances diminuent-elles, à mesure que le labyrinthe s’agrandit arbitrairement ?

Des questions connexes plus simples ont reçu une réponse il y a des décennies. Calculs de 1979 par Marcel den Nijs estimé la chance que vous puissiez trouver un chemin, ou un bras, du bord vers le centre. (Comparez cela avec l'exigence de Nolin selon laquelle il y a un bras à l'intérieur et un autre à l'extérieur.) Les travaux de Den Nijs prédisaient que la chance de trouver un bras dans une grille hexagonale est proportionnelle à $latex 1/n^{5/48}$. , où n est le nombre de tuiles du centre au bord, ou le rayon de la grille. En 2002, Grégory Lawler, Oded Schramm ainsi que Wendeline Werner enfin prouvé que la prédiction à un bras était correcte. Pour quantifier succinctement la probabilité décroissante à mesure que la taille de la grille augmente, les chercheurs utilisent l'exposant du dénominateur, 5/48, connu sous le nom d'exposant à un bras.

Nolin voulait calculer l'exposant monochromatique à deux bras le plus insaisissable. Simulations numériques en 1999 a montré qu'elle était très proche de 0.3568, mais les mathématiciens n'ont pas réussi à cerner sa valeur exacte.

Il était beaucoup plus facile de calculer ce que l'on appelle l'exposant polychromatique à deux bras, qui caractérise la probabilité qu'à partir du centre, vous puissiez trouver non seulement un chemin « ouvert » vers le périmètre, mais également un chemin « fermé » séparé. (Considérez le chemin fermé comme celui qui traverse les sommets des murs en béton du labyrinthe.) En 2001, Stanislav Smirnov et Werner prouvé que cet exposant était 1/4. (Parce que 1/4 est nettement plus grand que 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ rétrécit plus rapidement que $latex 1/n^{5/48}$ car n grandit. Les chances d’avoir une structure polychromatique à deux bras sont donc bien inférieures aux chances d’avoir un seul bras, comme on pourrait s’y attendre.)

Ce calcul reposait fortement sur la connaissance de la forme des clusters dans le graphique. Imaginez qu'un labyrinthe à la probabilité critique soit extrêmement vaste, composé de millions et de millions d'hexagones. Trouvez maintenant un groupe d'hexagones vides et tracez le bord du groupe avec un Sharpie noir épais. Cela ne donnera probablement pas une simple goutte ronde. À des kilomètres dans les airs, vous verriez une courbe frétillante qui revient constamment en arrière, donnant souvent l'impression qu'elle est sur le point de se croiser, mais sans jamais vraiment s'engager.

Il s'agit d'un type de courbe appelée courbe SLE, introduite par Schramm dans un papier 2000 qui a redéfini le domaine. Un mathématicien étudiant les chances de trouver un chemin ouvert et un chemin fermé sait que ces chemins doivent se trouver à l’intérieur de plus grands groupes de sites ouverts et fermés, qui finissent par se rencontrer le long d’une courbe SLE. Les propriétés mathématiques des courbes SLE se traduisent ensuite en informations inestimables sur les chemins à l'intérieur du labyrinthe. Mais si les mathématiciens recherchent plusieurs chemins du même type, les courbes SLE perdent une grande partie de leur efficacité.

En 2007, Nolin et son collaborateur Vincent Beffara avaient créé des simulations numériques montrant que l'exposant monochromatique à deux bras était d'environ 0.35. C'était étrangement proche de 17/48 – la somme de l'exposant à un bras, 5/48, et de l'exposant polychromatique à deux bras, 1/4 (ou 12/48). "17/48 est vraiment frappant", a déclaré Nolin. Il commença à soupçonner que 17/48 était la vraie réponse, ce qui signifiait qu'il existait un simple lien entre les différents types d'exposants. Vous pourriez simplement les additionner. « Nous avons dit : OK, c'est trop beau pour être faux ; ça doit être vrai.

Pendant un certain temps, la conjecture de Nolin et Beffara n'a rien donné, bien que Nolin l'ait publiée sur son site Web pour que d'autres puissent y travailler. Il a déménagé à Hong Kong en 2017 pour occuper une chaire à la City University of Hong Kong et a continué à travailler sur ce problème. En 2018, il a évoqué l'exposant lors d'une conversation avec Wei Qian, qui était alors postdoctorant à l'Université de Cambridge en Angleterre. Qian étudiait la géométrie aléatoire dans un contexte continu plutôt que discret, avec un accent particulier sur les courbes SLE. Elle était au milieu d'un projet utilisant le SLE pour calculer les exposants dans un type différent de modèle aléatoire, et Nolin a commencé à soupçonner que son expertise était également pertinente pour l'exposant monochromatique à deux bras. Les deux hommes trouvèrent bientôt une équation apparemment simple dont la solution donnerait l'exposant, mais cette équation reposait sur une quantité intermédiaire liée à l'espace délimité par une courbe SLE au bord de la grille. Nolin et Qian n'ont pas pu déterminer ce chiffre.

"J'ai fait beaucoup de calculs, mais je n'étais toujours pas capable de calculer cette propriété", a déclaré Qian. "Je n'ai pas réussi, alors j'ai arrêté pendant un certain temps."

"Nous n'en avons jamais parlé à personne parce que nous ne savions pas si cela serait utile ou non", a ajouté Nolin.

L'exposant de la colonne vertébrale

L'exposant monochromatique à deux bras est particulièrement intéressant car il décrit également « l'épine dorsale » d'une grille : l'ensemble d'hexagones reliés à deux bras distincts s'étendant jusqu'à deux bras non superposés : un vers le bord du labyrinthe et un vers le bord du labyrinthe. son centre. Lorsque ces sites sont colorés, ils forment une toile qui s’étend sur toute la grille et s’appelle l’épine dorsale. Lorsque les chercheurs modélisent la propagation de maladies ou de formations rocheuses poreuses, la colonne vertébrale est une autoroute le long de laquelle les microbes ou le pétrole peuvent circuler. L'exposant recherché par Nolin et Qian révèle la taille de la colonne vertébrale et est appelé exposant de la colonne vertébrale.

Nolin et Qian n'étaient pas les seuls à rechercher la colonne vertébrale. Soleil de Xin, alors à l'Université de Pennsylvanie, avait également essayé de calculer l'exposant du squelette. Au cours des années précédentes, Sun et ses collaborateurs, dont Nina Holden de l'Université de New York, avaient trouvé un moyen d'étudier les courbes SLE en utilisant des surfaces fractales aléatoires. Ces surfaces tentaculaires et incurvées ont des bords festonnés qui se prolongent en de longues vrilles. Certains points sont à quelques pas de leurs voisins, tandis que d'autres nécessitent un voyage de plusieurs mois. Dans certains endroits, ces effets sont trop extrêmes pour être visualisés. "Il n'est pas réellement possible de le dessiner" avec une précision totale, a déclaré Holden. "Il faudrait en quelque sorte étirer beaucoup la surface."

À l'été 2022, Sun a engagé Zijie Zhuang, un étudiant diplômé de deuxième année, pour se joindre à l'étude du labyrinthe aléatoire à la probabilité critique. Ils ont envisagé des labyrinthes aléatoires dans lesquels les hexagones reposaient sur une surface fractale aléatoire, plutôt que sur un plan plat. Parce que le hasard détermine où et dans quelle mesure la surface est étirée et comprimée, la surface possède des propriétés uniques. (Ces propriétés rendent également ces surfaces utiles aux physiciens qui étudient les modèles de gravité quantique dans un univers bidimensionnel, leur donnant leur nom : surfaces de gravité quantique de Liouville.) Par exemple, si vous approchez des ciseaux d'une telle surface, les formes de la deux moitiés ne dépendent pas l'une de l'autre. "Ce type d'indépendance simplifie énormément les choses", a déclaré Scott Sheffield du Massachusetts Institute of Technology. Lorsque les choses sont aléatoires, vous en savez moins à leur sujet, mais cela peut signifier moins d’informations à rendre compte de manière fastidieuse.

Sun et Zhuang ont d'abord essayé de déterminer la probabilité qu'il y ait un chemin ouvert reliant un petit cercle autour du centre de la grille à un cercle environnant plus grand. Après avoir répondu à cette question, Sun a suggéré de redoubler d'ambition : calculer la probabilité qu'il y ait deux chemins reliant les cercles imbriqués, ce qui leur aurait donné un moyen de calculer l'exposant du squelette. Mais bientôt, ils se heurtèrent à des difficultés. "Nous avons essayé cette approche pendant plusieurs mois, mais le calcul ne semble pas très réalisable", a écrit Zhuang dans un e-mail.

Pendant ce temps, bien que Nolin et Qian n'aient pas réussi à trouver la valeur de l'exposant, ils ont progressé par d'autres moyens. Qian a pris un congé de son poste au Centre national français de la recherche scientifique et a rejoint Nolin en tant que professeur à la City University de Hong Kong. (Ils se sont également mariés.) Au cours de l'été 2021, elle est tombée sur quelques articles de Sun et de ses collaborateurs qui l'ont intriguée. Alors, alors que les restrictions de voyage liées à la pandémie ont été levées, elle a prévu une visite en décembre 2022 à l'Institute for Advanced Study de Princeton. , New Jersey, où Sun passait l'année.

Cette visite s’est avérée fructueuse. Alors que Qian décrivait l'équation qu'elle et Nolin avaient trouvée, Sun commença à penser qu'elle pourrait être adaptée à sa technique et à celle de Zhuang consistant à superposer les labyrinthes sur les surfaces de gravité quantique de Liouville. "C'est une sorte de coïncidence", a déclaré Sun. "Un gars a une serrure, un autre a une clé."

Zhuang était un peu sceptique. "Nous n'avons aucune prévision, et nous ne savons même pas si la formule aura une bonne solution", a-t-il déclaré, décrivant la situation à l'époque. Sun et Zhuang ont passé les mois suivants à utiliser leurs techniques de gravité quantique de Liouville – la clé – pour déverrouiller la quantité insaisissable dans l'équation de Nolin et Qian des années plus tôt – le verrou.

Après quatre mois de travail, Sun et Zhuang avaient ouvert la serrure métaphorique. Sun a envoyé un e-mail à Zhuang, Qian et Nolin, proclamant : « Excellente nouvelle : formule exacte pour l'exposant du squelette ». La réponse, trouva-t-il, était une expression moyennement compliquée des racines carrées et de la fonction sinus trigonométrique. C'était en accord avec les estimations précédentes, un flot incessant de chiffres commençant par 0.3566668.

Les quatre ont transformé leur travail en un article écrit, affinant l'argumentation jusqu'à ce que les idées de Nolin et Qian d'un côté, et de Sun et Zhuang de l'autre, se combinent pour créer une preuve que Sheffield, qui était le conseiller doctoral de Sun, a appelé « une belle gemme." "La stratégie de preuve est vraiment surprenante et très originale, mais quand vous la voyez, c'est aussi quelque chose qui semble assez naturel", a déclaré Holden.

Nolin déplore ses soupçons de 2011 selon lesquels l'exposant était exactement 17/48. « Nous avons induit le monde en erreur pendant un certain temps. Je n'en suis pas très fier. L’exposant de la colonne vertébrale est étonnamment différent de ses cousins ​​polychromatiques. Non seulement c'est irrationnel, mais c'est aussi transcendantal, ce qui signifie que comme $latex pi$ et e, il ne peut pas être écrit comme la solution d’une simple équation polynomiale.

"La preuve n'explique pas vraiment d'où vient cette formule", a-t-il déclaré. "Nous l'avons montré aux physiciens et nous attendons vraiment avec impatience leurs idées."

La nature transcendantale de l’exposant de base a attiré l’attention d’autres acteurs du domaine. Gregory Huber du Chan Zuckerberg Biohub, co-auteur d'un article de suivi à propos de l’exposant principal, a déclaré qu’il pense que le résultat est le « premier aperçu d’un nouveau continent » en mécanique statistique. Bien que la combinaison des courbes SLE et de la gravité quantique de Liouville soit extrêmement technique, la réponse numérique claire et simple qui en a émergé, écrit-il, est « incroyablement simple et élégante ».