Los matemáticos y los científicos de la computación tuvieron un año emocionante de avances en la teoría de conjuntos, la topología y la inteligencia artificial, además de preservar el conocimiento que se desvanece y revisar viejas preguntas. Hicieron nuevos avances en cuestiones fundamentales en el campo, celebraron las conexiones que abarcan áreas distantes de las matemáticas y vieron crecer los vínculos entre las matemáticas y otras disciplinas. Pero muchos resultados fueron solo respuestas parciales, y algunas vías de exploración prometedoras resultaron ser callejones sin salida, dejando trabajo para las generaciones futuras (y actuales).

Los topólogos, que ya habían tenido un año ajetreado, vieron el lanzamiento de un libro este otoño que finalmente presenta, de manera integral, una obra importante de 40 años que estaba en peligro de perderse. Una herramienta geométrica creada hace 11 años ganó nueva vida en un contexto matemático diferente, uniendo áreas dispares de investigación. Y un nuevo trabajo en teoría de conjuntos acercó a los matemáticos a comprender la naturaleza del infinito y cuántos números reales hay realmente. Esta fue solo una de las muchas preguntas en matemáticas de hace décadas que recibieron respuestas, de algún tipo, este año.

Pero las matemáticas no existen en el vacío. Este verano, ¿Cuánto cubrió la creciente necesidad de una comprensión matemática de la teoría cuántica de campos, uno de los conceptos de mayor éxito en física. Del mismo modo, las computadoras se están convirtiendo en herramientas cada vez más indispensables para los matemáticos, que las utilizan no solo para realizar cálculos, sino para resolver problemas que de otro modo serían imposibles e incluso verificar pruebas complicadas. Y a medida que las máquinas mejoran en la resolución de problemas, este año también se ha observado un nuevo progreso en la comprensión de cómo se volvieron tan buenos en eso.

Es tentador pensar que una prueba matemática, una vez descubierta, se quedaría para siempre. Pero un resultado de topología seminal de 1981 estaba en peligro de perderse en la oscuridad, ya que los pocos matemáticos restantes que lo entendieron envejecieron y abandonaron el campo. La prueba de Michael Freedman de la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones mostró que ciertas formas que son similares en algunos aspectos (o "equivalentes de homotopía") a una esfera de cuatro dimensiones también deben ser similares en otros aspectos, haciéndolas "homeomórficas". (Topólogos tienen sus propias formas determinar cuándo dos formas son iguales o similares). Afortunadamente, un nuevo libro llamado El teorema de la incrustación de discos establece en casi 500 páginas la lógica ineludible del sorprendente enfoque de Freedman y establece firmemente el hallazgo en el canon matemático.

Otro resultado importante reciente en topología involucró la conjetura de Smale, que pregunta si las simetrías básicas de la esfera de cuatro dimensiones son, básicamente, todas las simetrías que tiene. Tadayuki Watanabe demostró que la respuesta es no, existen más tipos de simetrías, y al hacerlo, inició una búsqueda, con nuevos resultados que aparecieron tan recientemente como en septiembre. Además, dos matemáticos desarrollaron “Flor Morava K-teoría, ”Un marco que combina geometría simpléctica y topología; el trabajo establece un nuevo conjunto de herramientas para abordar problemas en esos campos y, casi de pasada, prueba una nueva versión de un problema de décadas de antigüedad llamado la conjetura de Arnold. ¿Cuánto También exploró los orígenes de la topología en sí con un columna en enero y un explicador dedicado a el tema relacionado de la homología.

Ya sea que estén ayudando a matemáticos a hacer matemáticas o ayudando en el análisis de datos científicos, las redes neuronales profundas, una forma de inteligencia artificial construida sobre capas de neuronas artificiales, se han vuelto cada vez más sofisticadas y poderosas. También siguen siendo misteriosos: la teoría tradicional del aprendizaje automático dice que su gran cantidad de parámetros debería resultar en un sobreajuste y una incapacidad para generalizar, pero claramente algo más debe estar sucediendo. Resulta que los modelos de aprendizaje automático más antiguos y mejor entendidos, llamados máquinas kernel, son matemáticamente equivalente a versiones idealizadas de estas redes neuronales, lo que sugiere nuevas formas de comprender y aprovechar las cajas negras digitales.

Pero también ha habido contratiempos. Los tipos relacionados de IA conocidos como redes neuronales convolucionales lo pasan muy mal distinguir entre objetos similares y diferentesy es muy probable que siempre lo hagan. Asimismo, un trabajo reciente ha demostrado que el descenso de gradientes, un algoritmo útil para entrenar redes neuronales y realizar otras tareas computacionales, es un problema fundamentalmente difícil, lo que significa que algunas tareas pueden estar siempre fuera de su alcance. La computación cuántica, a pesar de su promesa, también sufrió un gran revés en marzo cuando un papel importante Se retiró la descripción de cómo crear qubits topológicos resistentes a errores, lo que obligó a los científicos que alguna vez tuvieron esperanzas a darse cuenta de que tal máquina puede ser imposible. (Scott Aaronson destacó, en una columna y video, solo por qué es tan difícil trabajar con las computadoras cuánticas, e incluso hablar de ellas).

¿Cuántos números reales existen? Ha sido una pregunta provocativa y sin resolver durante más de un siglo, pero este año vio desarrollos importantes hacia una respuesta. David Asperó y Ralf Schindler publicaron una prueba en mayo que combinaba dos axiomas previamente antagónicos: una variación de uno de ellos, conocido como máximo de Martin, implica el otro, llamado (*) (se pronuncia “estrella”). El resultado significa que es más probable que ambos axiomas sean verdaderos, lo que a su vez sugiere que el número de números reales es mayor de lo que se pensaba inicialmente, correspondiente al número cardinal $ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $ en lugar del más pequeño (pero aún así infinito) $ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $. Esto violaría la hipótesis del continuo, que establece que no existe un tamaño de infinito entre $ latexboldsymbol {aleph} _ {0} $, correspondiente al conjunto de todos los números naturales, y el continuo de números reales. Pero no todos están de acuerdo, incluido Hugh Woodin, el creador original de (*), quien ha publicado un nuevo trabajo que sugiere que la hipótesis del continuo es correcta después de todo.

Este no fue el único problema de décadas revisado por las soluciones modernas. En 1900, a David Hilbert se le ocurrieron 23 preguntas importantes sin resolver, y este año los matemáticos publicaron respuestas incompletas al duodécimo problema, sobre la bloques de construcción de ciertos sistemas numéricos, y el 13, sobre el soluciones a polinomios de séptimo grado. Febrero también vio el anuncio de que la conjetura de la unidad es falsa, lo que significa que las inversas multiplicativas en realidad existen en estructuras más complicadas de lo que pensaban los matemáticos. Y en enero Alex Kontorovich exploró quizás el mayor problema sin resolver en matemáticas, la hipótesis de Riemann, en un ensayo y un video.

A menudo, un gran avance matemático no solo responde a una pregunta importante, sino que también proporciona una nueva vía de exploración para probar otros problemas. Laurent Fargues y Jean-Marc Fontaine crearon un nuevo objeto geométrico alrededor de 2010 que ayudó a su propia investigación. Pero cuando se combina con las ideas de Peter Scholze sobre espacios perfectos, la curva de Fargues-Fontaine adquirió mayor importancia, conectando aún más la teoría de números y la geometría como parte del programa Langlands de décadas de antigüedad. “Es una especie de agujero de gusano entre dos mundos diferentes”, dijo Scholze.

Otras reflexiones sobre el programa Langlands incluyeron una entrevista con Ana Caraiani, cuyo trabajo ha ayudado a fortalecer y mejorar conexiones similares entre áreas dispares de matemáticas, y un examen de los grupos de Galois de simetrías en el corazón de las conjeturas originales de Langlands.

Los sistemas del mundo real son notoriamente complicados y las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) ayudan a los investigadores a describirlos y comprenderlos. Pero los PDE también son notoriamente difíciles de resolver. Dos nuevos tipos de redes neuronales: DeepONet y el operador neuronal de Fourier. han surgido para facilitar este trabajo. Ambos tienen el poder de aproximar operadores, que pueden transformar funciones en otras funciones, permitiendo efectivamente que las redes mapeen un espacio de dimensión infinita en otro espacio de dimensión infinita. Los nuevos sistemas resuelven ecuaciones existentes más rápido que los métodos convencionales y también pueden ayudar a proporcionar PDE para sistemas que anteriormente eran demasiado complicados de modelar.

De hecho, las computadoras han resultado útiles para los matemáticos de varias maneras este año. En Enero, ¿Cuánto informó sobre nuevos algoritmos para computadoras cuánticas que les permitirían procesar sistemas no lineales, donde las interacciones pueden afectarse a sí mismos, aproximándolos primero como más simples, lineales. Las computadoras también continuaron impulsando la investigación matemática cuando un equipo de matemáticos utilizó hardware y algoritmos modernos para demostrar que existen no más tipos de tetraedros especiales que los descubiertos hace 26 años y, más dramáticamente, cuando un asistente de pruebas digitales llamado Lean verificó la exactitud de una prueba moderna inescrutable.

La física y las matemáticas siempre se han superpuesto, inspirándose y avanzando mutuamente. El concepto de teoría cuántica de campos, un conjunto que los físicos usan para describir marcos que involucran campos cuánticos, ha tenido un enorme éxito, pero se basa en un terreno matemático inestable. Llevar el rigor matemático a la teoría cuántica de campos ayudaría a los físicos a trabajar y expandir ese marco, pero también les daría a los matemáticos un nuevo conjunto de herramientas y estructuras con las que jugar. En una serie de cuatro partes, ¿Cuánto examinado los principales problemas actualmente se interpone en el camino de los matemáticos, exploró una historia de éxito a menor escala en dos dimensiones, discutió las posibilidades con El especialista en QFT Nathan Seiberg, y explicó en un video el QFT más destacado de todos: el modelo estándar.