Deje caer un cubito de hielo en un vaso de agua. Probablemente puedas imaginar la forma en que comienza a derretirse. También sabe que no importa la forma que adopte, nunca lo verá fundirse en algo como un copo de nieve, compuesto por todas partes por bordes afilados y cúspides finas.

Los matemáticos modelan este proceso de fusión con ecuaciones. Las ecuaciones funcionan bien, pero han sido necesarios 130 años para demostrar que se ajustan a hechos obvios sobre la realidad. Ahora, en un documento publicado en marzo, Alessio Figalli y Joaquim Serra del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Zúrich y Xavier Ros-Otón de la Universidad de Barcelona han establecido que las ecuaciones realmente coinciden con la intuición. Los copos de nieve en el modelo pueden no ser imposibles, pero son extremadamente raros y completamente fugaces.

"Estos resultados abren una nueva perspectiva en el campo", dijo María Colombo del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana. “Anteriormente, no había una comprensión tan profunda y precisa de este fenómeno”.

La cuestión de cómo se derrite el hielo en el agua se llama el problema de Stefan, llamado así por el físico Josef Stefan, quien que plantea en 1889. Es el ejemplo más importante de un problema de "límite libre", donde los matemáticos consideran cómo un proceso como la difusión de calor hace que un límite se mueva. En este caso, el límite está entre el hielo y el agua.

Durante muchos años, los matemáticos han intentado comprender los complicados modelos de estos límites en evolución. Para avanzar, el nuevo trabajo se inspira en estudios previos sobre un tipo diferente de sistema físico: las películas de jabón. Se basa en ellos para demostrar que a lo largo del límite evolutivo entre el hielo y el agua, rara vez se forman puntos afilados como cúspides o bordes, e incluso cuando lo hacen, desaparecen de inmediato.

Estos puntos afilados se denominan singularidades y resulta que son tan efímeros en los límites libres de las matemáticas como en el mundo físico.

Fusión de relojes de arena

Considere, nuevamente, un cubo de hielo en un vaso de agua. Las dos sustancias están compuestas por las mismas moléculas de agua, pero el agua está en dos fases diferentes: sólida y líquida. Existe un límite donde las dos fases se encuentran. Pero a medida que el calor del agua se transfiere al hielo, el hielo se derrite y el límite se mueve. Finalmente, el hielo, y el límite junto con él, desaparecen.

La intuición podría decirnos que este límite de fusión siempre permanece suave. Después de todo, no se corta con los bordes afilados cuando saca un trozo de hielo de un vaso de agua. Pero con un poco de imaginación, es fácil concebir escenarios donde surgen puntos afilados.

Toma un trozo de hielo en forma de reloj de arena y sumérgelo. A medida que el hielo se derrite, la cintura del reloj de arena se vuelve más y más delgada hasta que el líquido se come por completo. En el momento en que esto sucede, lo que alguna vez fue una cintura suave se convierte en dos cúspides puntiagudas o singularidades.

"Este es uno de esos problemas que naturalmente presenta singularidades", dijo Giuseppe Mingione de la Universidad de Parma. “Es la realidad física la que te lo dice.

Sin embargo, la realidad también nos dice que las singularidades están controladas. Sabemos que las cúspides no deben durar mucho, porque el agua tibia las derretirá rápidamente. Quizás si comenzaras con un enorme bloque de hielo construido completamente con relojes de arena, se podría formar un copo de nieve. Pero aún así, no duraría más de un instante.

En 1889, Stefan sometió el problema a un escrutinio matemático, explicando dos ecuaciones que describen la fusión del hielo. Uno describe la difusión de calor del agua tibia al hielo frío, lo que encoge el hielo y hace que la región del agua se expanda. Una segunda ecuación rastrea la interfaz cambiante entre el hielo y el agua a medida que avanza el proceso de fusión. (De hecho, las ecuaciones también pueden describir la situación en la que el hielo está tan frío que hace que el agua circundante se congele, pero en el presente trabajo, los investigadores ignoran esa posibilidad).

“Lo importante es entender dónde las dos fases deciden cambiar de una a otra”, dijo Colombo.

Pasaron casi 100 años hasta que, en la década de 1970, los matemáticos demostraron que estas ecuaciones tienen una base sólida. Dadas algunas condiciones iniciales, una descripción de la temperatura inicial del agua y la forma inicial del hielo, es posible ejecutar el modelo indefinidamente para describir exactamente cómo cambia la temperatura (o una cantidad estrechamente relacionada llamada temperatura acumulativa) con el tiempo.

Pero no encontraron nada que impidiera que el modelo llegara a escenarios improbablemente extraños. Las ecuaciones podrían describir un límite de agua helada que se forma en un bosque de cúspides, por ejemplo, o un copo de nieve afilado que permanece perfectamente quieto. En otras palabras, no podían descartar la posibilidad de que el modelo produjera una tontería. El problema de Stefan se convirtió en un problema para mostrar que las singularidades en estas situaciones están realmente bien controladas.

De lo contrario, significaría que el modelo de fusión del hielo fue un fracaso espectacular, uno que había engañado a generaciones de matemáticos haciéndoles creer que era más sólido de lo que es.

Inspiración jabonosa

En la década anterior a que los matemáticos comenzaran a comprender las ecuaciones de derretimiento del hielo, lograron un tremendo progreso en las matemáticas de las películas de jabón.

Si sumerge dos anillos de alambre en una solución jabonosa y luego los separa, se forma una película de jabón entre ellos. La tensión superficial tirará de la película lo más tensa posible, dándole una forma llamada catenoide, una especie de cilindro hundido. Esta forma se forma porque une los dos anillos con la menor cantidad de área de superficie, lo que la convierte en un ejemplo de lo que los matemáticos llaman un superficie mínima.

Las películas de jabón están modeladas por su propio conjunto único de ecuaciones. En la década de 1960, los matemáticos habían progresado en su comprensión, pero no sabían lo extrañas que podían ser sus soluciones. Al igual que en el problema de Stefan, las soluciones pueden ser inaceptablemente extrañas, describiendo películas de jabón con innumerables singularidades que no se parecen en nada a las películas suaves que esperamos.

En 1961 y 1962, Ennio De Giorgi, Wendell Fleming y otros inventaron un elegante proceso para determinar si la situación con las singularidades era tan mala como se temía.

Suponga que tiene una solución a las ecuaciones de la película de jabón que describe la forma de la película entre dos superficies límite, como el conjunto de dos anillos. Concéntrese en un punto arbitrario de la superficie de la película. ¿Cómo se ve la geometría cerca de este punto? Antes de que sepamos algo al respecto, podría tener cualquier tipo de característica imaginable, desde una cúspide afilada hasta una colina suave. Los matemáticos idearon un método para hacer zoom en el punto, como si tuvieran un microscopio con un poder infinito. Demostraron que al acercar la imagen, todo lo que ve es un plano.

"Siempre. Eso es todo ”, dijo Ros-Oton.

Esta planitud implicaba que la geometría cerca de ese punto no podía ser singular. Si el punto estuviera ubicado en una cúspide, los matemáticos verían algo más parecido a una cuña, no a un plano. Y dado que eligieron el punto al azar, podrían concluir que todos los puntos de la película deben verse como un plano liso cuando los miras de cerca. Su trabajo estableció que toda la película debe ser fluida, libre de singularidades.

Los matemáticos querían usar los mismos métodos para lidiar con el problema de Stefan, pero pronto se dieron cuenta de que con el hielo las cosas no eran tan simples. A diferencia de las películas de jabón, que siempre se ven suaves, el hielo derretido realmente presenta singularidades. Y mientras una película de jabón permanece en su lugar, la línea entre el hielo y el agua siempre está en movimiento. Esto planteó un desafío adicional que otro matemático abordaría más tarde.

Del cine al hielo

En 1977, Luis Caffarelli reinventó una lupa matemática para el problema de Stefan. En lugar de acercarse a una película de jabón, descubrió cómo acercar el límite entre el hielo y el agua.

“Esta fue su gran intuición”, dijo Mingione. “Pudo transportar estos métodos desde la teoría de la superficie mínima de de Giorgi a este escenario más general”.

Cuando los matemáticos se acercaron a las soluciones a las ecuaciones de la película de jabón, solo vieron la planitud. Pero cuando Caffarelli se acercaba al límite helado entre el hielo y el agua, a veces veía algo totalmente diferente: puntos congelados rodeados casi en su totalidad por agua más caliente. Estos puntos correspondían a cúspides heladas, singularidades, que quedan varadas por el retroceso del límite de fusión.

Caffarelli demostró que existen singularidades en las matemáticas del derretimiento del hielo. También ideó una forma de estimar cuántos hay. En el lugar exacto de una singularidad helada, la temperatura es siempre de cero grados Celsius, porque la singularidad está hecha de hielo. Eso es un hecho simple. Pero sorprendentemente, Caffarelli descubrió que a medida que se aleja de la singularidad, la temperatura aumenta en un patrón claro: si se aleja una unidad de distancia de una singularidad y entra en el agua, la temperatura aumenta aproximadamente en una unidad de temperatura. Si aleja dos unidades, la temperatura aumenta aproximadamente cuatro.

Esto se llama relación parabólica, porque si grafica la temperatura como una función de la distancia, obtiene aproximadamente la forma de una parábola. Pero debido a que el espacio es tridimensional, puede graficar la temperatura en tres direcciones diferentes alejándose de la singularidad, no solo en una. Por tanto, la temperatura parece una parábola tridimensional, una forma llamada paraboloide.

En conjunto, la visión de Caffarelli proporcionó una forma clara de evaluar las singularidades a lo largo del límite del agua helada. Las singularidades se definen como puntos donde la temperatura es de cero grados Celsius y los paraboloides describen la temperatura en y alrededor de la singularidad. Por lo tanto, en cualquier lugar donde el paraboloide sea igual a cero, tendrá una singularidad.

Entonces, ¿cuántos lugares hay donde un paraboloide puede ser igual a cero? Imagine un paraboloide compuesto por una secuencia de parábolas apiladas una al lado de la otra. Los paraboloides como estos pueden tomar un valor mínimo, un valor de cero, a lo largo de una línea completa. Esto significa que cada una de las singularidades observadas por Caffarelli podría ser en realidad del tamaño de una línea, un borde helado infinitamente delgado, en lugar de un solo punto helado. Y dado que se pueden juntar muchas líneas para formar una superficie, su trabajo dejó abierta la posibilidad de que un conjunto de singularidades pudiera llenar toda la superficie límite. Si esto fuera cierto, significaría que las singularidades en el problema de Stefan estaban completamente fuera de control.

“Sería un desastre para el modelo. Un caos total ", dijo Figalli, quien ganó la medalla Fields, el mayor honor en matemáticas, en 2018.

Sin embargo, el resultado de Caffarelli fue solo el peor de los casos. Estableció el tamaño máximo de las singularidades potenciales, pero no dijo nada sobre la frecuencia con la que las singularidades ocurren realmente en las ecuaciones o cuánto duran. Para 2019, Figalli, Ros-Oton y Serra habían descubierto una forma notable de obtener más información.

Patrones imperfectos

Para resolver el problema de Stefan, Figalli, Ros-Oton y Serra necesitaban demostrar que las singularidades que surgen en las ecuaciones están controladas: no hay muchas y no duran mucho. Para hacer eso, necesitaban una comprensión integral de todos los diferentes tipos de singularidades que posiblemente podrían formarse.

Caffarelli había avanzado en la comprensión de cómo se desarrollan las singularidades a medida que se derrite el hielo, pero había una característica del proceso que no sabía cómo abordar. Reconoció que la temperatura del agua alrededor de una singularidad sigue un patrón paraboloide. También reconoció que no sigue exactamente este patrón: hay una pequeña desviación entre un paraboloide perfecto y la apariencia real de la temperatura del agua.

Figalli, Ros-Oton y Serra cambiaron el microscopio hacia esta desviación del patrón paraboloide. Cuando se acercaron a esta pequeña imperfección, un susurro de frialdad que se alejaba del límite, descubrieron que tenía sus propios tipos de patrones que daban lugar a diferentes tipos de singularidades.

"Van más allá de la escala parabólica", dijo Salsa Sandro de la Universidad Politécnica de Milán. "Lo cual es asombroso".

Pudieron demostrar que todos estos nuevos tipos de singularidades desaparecieron rápidamente, tal como lo hacen en la naturaleza, excepto dos que eran particularmente enigmáticos. Su último desafío fue demostrar que estos dos tipos también desaparecen tan pronto como aparecen, descartando la posibilidad de que algo como un copo de nieve pueda perdurar.

Cúspides que desaparecen

El primer tipo de singularidad había surgido antes, en 2000. Un matemático llamado Frederick Almgren lo había investigado en un intimidante artículo de 1,000 páginas sobre películas de jabón, que solo fue publicado por su esposa, Jean Taylor, otra experta en películas de jabón, después él murió.

Si bien los matemáticos habían demostrado que las películas de jabón siempre son suaves en tres dimensiones, Almgren demostró que en cuatro dimensiones puede aparecer un nuevo tipo de singularidad "ramificada", que hace que las películas de jabón sean afiladas de formas extrañas. Estas singularidades son profundamente abstractas e imposibles de visualizar con claridad. Sin embargo, Figalli, Ros-Oton y Serra se dieron cuenta de que se forman singularidades muy similares a lo largo del límite de fusión entre el hielo y el agua.

“La conexión es un poco misteriosa”, dijo Serra. "A veces, en matemáticas, las cosas se desarrollan de formas inesperadas".

Utilizaron el trabajo de Almgren para mostrar que el hielo alrededor de una de estas singularidades ramificadas debe tener un patrón cónico que se ve igual a medida que se hace zoom. Y a diferencia del patrón paraboloide para la temperatura, lo que implica que puede existir una singularidad a lo largo de una línea completa. , un patrón cónico solo puede tener una singularidad nítida en un solo punto. Utilizando este hecho, demostraron que estas singularidades están aisladas en el espacio y el tiempo. Tan pronto como se forman, desaparecen.

El segundo tipo de singularidad era aún más misterioso. Para tener una idea de ello, imagina sumergir una fina capa de hielo en agua. Se encogerá y encogerá y desaparecerá repentinamente de una vez. Pero justo antes de ese momento, formará una singularidad en forma de hoja, una pared bidimensional tan afilada como una navaja.

En ciertos puntos, los investigadores lograron acercarse para encontrar un escenario análogo: dos frentes de hielo colapsando hacia el punto como si estuviera situado dentro de una delgada capa de hielo. Estos puntos no eran exactamente singularidades, sino lugares donde una singularidad estaba a punto de formarse. La pregunta era si los dos frentes cercanos a estos puntos colapsaron al mismo tiempo. Si eso sucediera, se formaría una singularidad en forma de hoja por solo un momento perfecto antes de desaparecer. Al final, demostraron que así es como se desarrolla el escenario en las ecuaciones.

"Esto de alguna manera confirma la intuición", dijo daniela de silva de Barnard College.

Habiendo demostrado que las singularidades exóticas de ramificación y hojas eran raras, los investigadores pudieron hacer la afirmación general de que todas las singularidades del problema de Stefan son raras.

"Si elige al azar un momento, entonces la probabilidad de ver un punto singular es cero", dijo Ros-Oton.

Los matemáticos dicen que los detalles técnicos del trabajo tomarán tiempo para digerirlos. Pero confían en que los resultados sentarán las bases para avances en muchos otros problemas. El problema de Stefan es un ejemplo fundamental para todo un subcampo de las matemáticas donde los límites se mueven. ¿Pero en cuanto al problema de Stefan en sí, y las matemáticas de cómo los cubitos de hielo se derriten en el agua?

“Esto está cerrado”, dijo Salsa.