Τον Οκτώβριο, ένας πύραυλος Falcon Heavy έχει προγραμματιστεί να εκτοξευτεί από το ακρωτήριο Κανάβεραλ στη Φλόριντα, μεταφέροντας την αποστολή Europa Clipper της NASA. Η αποστολή των 5 δισεκατομμυρίων δολαρίων έχει σχεδιαστεί για να ανακαλύψει εάν η Ευρώπη, το τέταρτο μεγαλύτερο φεγγάρι του Δία, μπορεί να υποστηρίξει ζωή. Επειδή όμως η Ευρώπη βομβαρδίζεται συνεχώς από την έντονη ακτινοβολία που δημιουργείται από το μαγνητικό πεδίο του Δία, το διαστημόπλοιο Clipper δεν μπορεί να περιφερθεί γύρω από το ίδιο το φεγγάρι. Αντίθετα, θα γλιστρήσει σε μια έκκεντρη τροχιά γύρω από τον Δία και θα συγκεντρώσει δεδομένα ταλαντεύοντας επανειλημμένα την Ευρώπη - 53 φορές συνολικά - πριν υποχωρήσει από τη χειρότερη ακτινοβολία. Κάθε φορά που το διαστημόπλοιο κάνει τον γύρο του Δία, η πορεία του θα είναι ελαφρώς διαφορετική, διασφαλίζοντας ότι μπορεί να τραβήξει φωτογραφίες και να συλλέξει δεδομένα από τους πόλους της Ευρώπης στον ισημερινό της.

Για να προγραμματίσουν περίπλοκες περιηγήσεις όπως αυτή, οι σχεδιαστές τροχιάς χρησιμοποιούν μοντέλα υπολογιστών που υπολογίζουν σχολαστικά την τροχιά ένα βήμα τη φορά. Ο σχεδιασμός λαμβάνει υπόψη εκατοντάδες απαιτήσεις αποστολής και ενισχύεται από δεκαετίες μαθηματικής έρευνας σε τροχιές και πώς να τις ενώσετε σε περίπλοκες περιηγήσεις. Οι μαθηματικοί αναπτύσσουν τώρα εργαλεία τα οποία ελπίζουν ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δημιουργήσουν μια πιο συστηματική κατανόηση του τρόπου με τον οποίο οι τροχιές σχετίζονται μεταξύ τους.

«Αυτό που έχουμε είναι οι προηγούμενοι υπολογισμοί που έχουμε κάνει, που μας καθοδηγούν όπως κάνουμε και τους τρέχοντες υπολογισμούς. Αλλά δεν είναι μια πλήρης εικόνα όλων των επιλογών που έχουμε», είπε Daniel Scheeres, μηχανικός αεροδιαστημικής στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο, Boulder.

«Νομίζω ότι αυτή ήταν η μεγαλύτερη απογοήτευσή μου όταν ήμουν φοιτητής», είπε ο Dayung Koh, μηχανικός στο Εργαστήριο Jet Propulsion της NASA. «Ξέρω ότι αυτές οι τροχιές υπάρχουν, αλλά δεν ξέρω γιατί». Δεδομένου του κόστους και της πολυπλοκότητας των αποστολών στα φεγγάρια του Δία και του Κρόνου, το να μην γνωρίζουμε γιατί οι τροχιές βρίσκονται εκεί που βρίσκονται είναι πρόβλημα. Τι θα συμβεί αν υπάρχει μια εντελώς διαφορετική τροχιά που θα μπορούσε να ολοκληρώσει τη δουλειά με λιγότερους πόρους; Όπως είπε ο Koh: «Τα βρήκα όλα; Υπάρχουν περισσότερα; Δεν μπορώ να το πω αυτό.”

Αφού πήρε το διδακτορικό της από το Πανεπιστήμιο της Νότιας Καλιφόρνια το 2016, η Koh άρχισε να ενδιαφέρεται για το πώς οι τροχιές μπορούν να καταλογιστούν σε οικογένειες. Οι Jovian τροχιές που είναι μακριά από την Ευρώπη σχηματίζουν μια τέτοια οικογένεια. το ίδιο και οι τροχιές κοντά στην Ευρώπη. Αλλά άλλες οικογένειες είναι λιγότερο εμφανείς. Για παράδειγμα, για οποιαδήποτε δύο σώματα, όπως ο Δίας και η Ευρώπη, υπάρχει ένα ενδιάμεσο σημείο όπου τα βαρυτικά αποτελέσματα των δύο σωμάτων ισορροπούν για να δημιουργήσουν σταθερά σημεία. Το διαστημικό σκάφος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από αυτό το σημείο, παρόλο που δεν υπάρχει τίποτα στο κέντρο της τροχιάς. Αυτές οι τροχιές σχηματίζουν μια οικογένεια που ονομάζεται τροχιές Lyapunov. Προσθέστε λίγη ενέργεια σε μια τέτοια τροχιά πυροδοτώντας έναν κινητήρα διαστημικού σκάφους και στην αρχή θα μείνετε στην ίδια οικογένεια. Αλλά προσθέστε αρκετά, και θα περάσετε σε μια άλλη οικογένεια - ας πούμε, μια που περιλαμβάνει τον Δία στις τροχιές του. Ορισμένες οικογένειες τροχιάς μπορεί να απαιτούν λιγότερα καύσιμα από άλλες, να παραμένουν στο φως του ήλιου ανά πάσα στιγμή ή να έχουν άλλα χρήσιμα χαρακτηριστικά.

Το 2021, ο Koh συνάντησε ένα έγγραφο που συζητούσε πώς να αντιμετωπίσει τις χαοτικές τροχιές από την προοπτική της συμπλεκτικής γεωμετρίας, ενός αφηρημένου πεδίου των μαθηματικών που γενικά απέχει πολύ από τις ακατάστατες λεπτομέρειες του πραγματικού κόσμου. Άρχισε να υποψιάζεται ότι η συμπλεκτική γεωμετρία μπορεί να έχει τα εργαλεία που χρειαζόταν για να κατανοήσει καλύτερα τις τροχιές και ήρθε σε επαφή με Αγκουστίν Μορένο, ο συγγραφέας της εργασίας. Ο Moreno, τότε μεταδιδακτορικός υπότροφος στο Πανεπιστήμιο της Ουψάλα στη Σουηδία, εξεπλάγη και χάρηκε όταν άκουσε ότι κάποιος στη NASA ενδιαφέρθηκε για τη δουλειά του. «Ήταν απροσδόκητο, αλλά ήταν επίσης αρκετά ενδιαφέρον και κάπως κίνητρο ταυτόχρονα», είπε.

Οι δυο τους άρχισαν να εργάζονται μαζί, επιδιώκοντας να εφαρμόσουν τις αφηρημένες τεχνικές του Moreno στο σύστημα Δία-Ευρώπη και στον Κρόνο και το φεγγάρι του Εγκέλαδο, ο οποίος, όπως και η Ευρώπη, μπορεί να έχει ζωή στον υπόγειο ωκεανό του. Τον τελευταίο χρόνο, μαζί με άλλους συνεργάτες, έχουν γράψει μια σειρά από εργασίες που δημιουργήστε ένα πλαίσιο for τροχιές καταλογογράφησης. Τον Ιανουάριο, ο Moreno, τώρα καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης, ολοκλήρωσε ένα πρώιμο προσχέδιο που μετέτρεψε την έρευνα του σε α βιβλίο για το θέμα. Με το βιβλίο, θέλει να κάνει το αφηρημένο πεδίο της συμπλεκτικής γεωμετρίας χρήσιμο σε μηχανικούς που προσπαθούν να σχεδιάσουν διαστημικές αποστολές. Εάν τα καταφέρει, θα επανενώσει πεδία έρευνας που έχουν διαλυθεί στο πέρασμα των αιώνων.

Χωρίς Βασιλικό Δρόμο προς τη Γεωμετρία

Η συμπλεκτική γεωμετρία έχει τις ρίζες της στη φυσική. Για να πάρουμε ένα απλό παράδειγμα, φανταστείτε ένα εκκρεμές. Η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί από δύο παραμέτρους: γωνία και ταχύτητα. Εάν η ταχύτητα είναι αρκετά χαμηλή, το εκκρεμές θα ταλαντώνεται εμπρός και πίσω. Εάν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, θα περιστρέφεται κυκλικά. Σε ένα εξιδανικευμένο εκκρεμές χωρίς τριβές, αφού επιλέξετε γωνία εκκίνησης και ταχύτητα, η συμπεριφορά του συστήματος καθορίζεται για πάντα.

Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα γράφημα με τη γωνία ως το x-άξονας και η ταχύτητα ως το y-άξονας. Αλλά επειδή το ταξίδι 360 μοιρών σας φέρνει πίσω στην αρχή, μπορείτε να ράψετε μαζί τις κάθετες γραμμές όπου x είναι μηδέν μοίρες και πού x είναι 360 μοίρες. Αυτό κάνει έναν κύλινδρο. Ο κύλινδρος δεν αντανακλά άμεσα τη φυσική πραγματικότητα - δεν δείχνει μονοπάτια που χαράζει το εκκρεμές - μάλλον, κάθε σημείο του αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη κατάσταση του εκκρεμούς. Ο κύλινδρος, μαζί με τους νόμους που καθορίζουν τις διαδρομές που μπορεί να ακολουθήσει το εκκρεμές, σχηματίζει έναν συμπλεκτικό χώρο.

Από τις αρχές του 17ου αιώνα, όταν ο Johannes Kepler διατύπωσε τους νόμους του, οι φυσικοί και οι μαθηματικοί είχαν μια σταθερή αντίληψη για το πώς να περιγράψουν την κίνηση δύο σωμάτων που υπόκεινται στη βαρύτητα. Ανάλογα με το πόσο γρήγορα κινούνται, τα μονοπάτια τους σχηματίζουν έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή. Οι αντίστοιχοι συμπλεκτικοί χώροι είναι πιο περίπλοκοι από εκείνον για ένα εκκρεμές, αλλά εξακολουθούν να έλκονται. Αλλά η εισαγωγή ενός τρίτου αντικειμένου καθιστά αδύνατο να υπολογιστούν ακριβείς, αναλυτικές λύσεις. Και γίνεται πιο περίπλοκο μόνο αν προσθέσετε περισσότερα σώματα στο μοντέλο. «Χωρίς αυτήν την αναλυτική διορατικότητα, σχεδόν πάντα, σε κάποιο επίπεδο, πυροβολείτε στο σκοτάδι», είπε ο Scheeres.

Ένα διαστημικό σκάφος που μπορεί να κινηθεί ελεύθερα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση - από δεξιά προς τα αριστερά, πάνω και κάτω, και από μπροστά προς τα πίσω - χρειάζεται τρεις συντεταγμένες για να περιγράψει τη θέση του και άλλες τρεις για να περιγράψει την ταχύτητά του. Αυτό δημιουργεί έναν εξαδιάστατο συμπλεκτικό χώρο. Για να περιγράψετε την κίνηση τριών σωμάτων, όπως ο Δίας, η Ευρώπη και ένα διαστημόπλοιο, χρειάζεστε 18 διαστάσεις: έξι ανά σώμα. Η γεωμετρία του χώρου δεν ορίζεται μόνο από τον αριθμό των διαστάσεων που έχει, αλλά και από τις καμπύλες που δείχνουν πώς εξελίσσεται το φυσικό σύστημα που περιγράφεται με την πάροδο του χρόνου.

Ο Moreno και ο Koh εργάστηκαν σε μια «περιορισμένη» εκδοχή του προβλήματος των τριών σωμάτων όπου ένα από τα σώματα (το διαστημόπλοιο) είναι τόσο μικρό που δεν έχει καμία επίδραση στα άλλα δύο (Δίας και Ευρώπη). Για να απλοποιήσουν περαιτέρω τα πράγματα, οι ερευνητές υπέθεσαν ότι η τροχιά του φεγγαριού ήταν τέλεια κυκλική. Μπορείτε να πάρετε την κυκλική τροχιά του ως σταθερό φόντο για να εξετάσετε την πορεία του διαστημικού ανιχνευτή. Ο συμπλεκτικός χώρος πρέπει να λαμβάνει υπόψη μόνο τη θέση και την ταχύτητα του διαστημικού σκάφους, αφού η κίνηση του Δία και της Ευρώπης μπορεί να περιγραφεί εύκολα. Αντί λοιπόν να είναι 18-διάστατος, ο αντίστοιχος συμπλεκτικός χώρος είναι εξαδιάστατος. Όταν μια διαδρομή σε αυτόν τον εξαδιάστατο χώρο σχηματίζει έναν βρόχο, αντιπροσωπεύει μια περιοδική τροχιά του διαστημικού σκάφους μέσω του συστήματος πλανήτη-σελήνης.

Όταν η Koh επικοινώνησε με τη Moreno, ήταν περίεργη για περιπτώσεις όπου η προσθήκη μόνο ενός μικροσκοπικού κομματιού ενέργειας προκαλεί την τροχιά ενός διαστημικού σκάφους να μεταπηδά από τη μια οικογένεια στην άλλη. Αυτά τα σημεία συνάντησης μεταξύ οικογενειών τροχιών ονομάζονται σημεία διακλάδωσης. Συχνά πολλές οικογένειες θα συναντηθούν σε ένα μόνο σημείο. Αυτό τα καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμα στους σχεδιαστές τροχιών. «Η κατανόηση της δομής της διχοτόμησης σάς δίνει έναν οδικό χάρτη για το πού υπάρχουν ενδιαφέρουσες τροχιές που πρέπει να κοιτάξετε», είπε ο Scheeres. Ο Koh ήθελε να μάθει πώς να αναγνωρίζει και να προβλέπει σημεία διχοτόμησης.

Αφού άκουσε τον Koh, ο Moreno στρατολόγησε μερικούς άλλους γεωμέτρους: Urs Frauenfelder του Πανεπιστημίου του Άουγκσμπουργκ, Cengiz Aydin του Πανεπιστημίου της Χαϊδελβέργης και Otto van Koert του Εθνικού Πανεπιστημίου της Σεούλ. Οι Frauenfelder και van Koert είχαν μελετήσει από καιρό το πρόβλημα των τριών σωμάτων χρησιμοποιώντας συμπλεκτική γεωμετρία. ακόμη και αποκάλυψη μια πιθανή νέα οικογένεια τροχιών. Όμως, αν και οι μηχανικοί που σχεδιάζουν αποστολές διαστημικών σκαφών έχουν χρησιμοποιήσει μια μυριάδα μαθηματικών εργαλείων, τις τελευταίες δεκαετίες έχουν τρομάξει από την αυξανόμενη αφαίρεση της συμπλεκτικής γεωμετρίας.

Τους επόμενους μήνες, ο μηχανικός και οι τέσσερις μαθηματικοί έμαθαν σιγά-σιγά για τα πεδία του άλλου. «Χρειάζεται λίγος χρόνος όταν κάνετε διεπιστημονική εργασία για, ας πούμε, να ξεπεράσετε τα γλωσσικά εμπόδια», είπε ο Moreno. «Αλλά αφού ολοκληρώσετε τη δουλειά του ασθενούς, αρχίζει να αποδίδει».

Η Εργαλειοθήκη

Η ομάδα συγκέντρωσε μια σειρά από εργαλεία τα οποία ελπίζει ότι θα είναι χρήσιμα στους σχεδιαστές αποστολών. Ένα από τα εργαλεία είναι ένας αριθμός που ονομάζεται δείκτης Conley-Zehnder που μπορεί να βοηθήσει στον προσδιορισμό του πότε δύο τροχιές ανήκουν στην ίδια οικογένεια. Για να το υπολογίσουν, οι ερευνητές εξετάζουν σημεία που βρίσκονται κοντά - αλλά όχι στην - τροχιά που θέλουν να μελετήσουν. Φανταστείτε, για παράδειγμα, ότι ένα διαστημόπλοιο ακολουθεί μια ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Δία, επηρεασμένο από τη βαρύτητα από την Ευρώπη. Εάν το ωθήσετε από την πορεία του, η νέα του τροχιά θα μιμηθεί την αρχική τροχιά, αλλά μόνο ωμά. Το νέο μονοπάτι θα περιστρέφεται γύρω από την αρχική τροχιά, επιστρέφοντας σε ένα ελαφρώς διαφορετικό σημείο αφού κάνει κύκλους γύρω από τον Δία. Ο δείκτης Conley-Zehnder είναι μια μέτρηση του πόση σπειροειδή συνεχίζεται.

Παραδόξως, ο δείκτης Conley-Zehnder δεν εξαρτάται από τις ιδιαιτερότητες του τρόπου με τον οποίο σπρώχνετε το διαστημόπλοιο - είναι ένας αριθμός που σχετίζεται με ολόκληρη την τροχιά. Επιπλέον, είναι το ίδιο για όλες τις τροχιές της ίδιας οικογένειας. Εάν υπολογίσετε τον δείκτη Conley-Zehnder για δύο τροχιές και λάβετε δύο διαφορετικούς αριθμούς, μπορείτε να είστε σίγουροι ότι οι τροχιές προέρχονται από διαφορετικές οικογένειες.

Ένα άλλο εργαλείο, που ονομάζεται αριθμός Floer, μπορεί να υποδείξει άγνωστες οικογένειες τροχιών. Ας υποθέσουμε ότι πολλές οικογένειες συγκρούονται σε ένα σημείο διακλάδωσης όταν η ενέργεια χτυπά έναν συγκεκριμένο αριθμό και αρκετές περισσότερες οικογένειες διακλαδίζονται από αυτό το σημείο διακλάδωσης όταν η ενέργεια είναι μεγαλύτερη. Αυτό σχηματίζει έναν ιστό οικογενειών των οποίων ο κεντρικός κόμβος είναι η διχοτόμηση.

Μπορείτε να υπολογίσετε τον αριθμό Floer που σχετίζεται με αυτό το σημείο διακλάδωσης ως μια απλή συνάρτηση των ευρετηρίων Conley-Zehnder που σχετίζονται με κάθε σχετική οικογένεια. Μπορείτε να υπολογίσετε αυτή τη συνάρτηση τόσο για όλες τις οικογένειες που έχουν ενέργεια λίγο μικρότερη από το σημείο διακλάδωσης όσο και για οικογένειες των οποίων η ενέργεια είναι μεγαλύτερη. Εάν οι δύο αριθμοί Floer διαφέρουν, αυτό είναι μια ένδειξη ότι υπάρχουν κρυφές οικογένειες που συνδέονται με το σημείο διχοτόμησής σας.

«Αυτό που κάνουμε είναι να παρέχουμε εργαλεία βάσει των οποίων οι μηχανικοί δοκιμάζουν τους αλγόριθμους τους», είπε ο Moreno. Τα νέα εργαλεία έχουν σχεδιαστεί κυρίως για να βοηθήσουν τους μηχανικούς να κατανοήσουν πώς οι οικογένειες τροχιών ταιριάζουν μεταξύ τους και να τους ωθήσουν να αναζητήσουν νέες οικογένειες όπου απαιτείται. δεν προορίζεται να υποκαταστήσει τις τεχνικές εύρεσης τροχιάς που έχουν τελειοποιηθεί εδώ και δεκαετίες.

Το 2023, ο Moreno παρουσίασε το έργο σε ένα συνέδριο που διοργανώθηκε από το "Επιτροπή Μηχανικής Διαστημικών Πτήσεων», και έχει έρθει σε επαφή με μηχανικούς που ερευνούν διαστημικές τροχιές, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων στο εργαστήριο JPL και του Scheeres στο Boulder. Ο Scheeres καλωσόρισε την ανάμειξη των πεδίων: Γνώριζε από καιρό τη συμπλεκτική προσέγγιση της πλανητικής κίνησης, αλλά ένιωθε μαθηματικά έξω από το βάθος του. «Ήταν πραγματικά συναρπαστικό να βλέπεις τους μαθηματικούς να προσπαθούν να φέρουν την τεχνογνωσία τους στην πλευρά της μηχανικής», είπε. Η ομάδα του Scheeres εργάζεται τώρα σε ένα πιο περίπλοκο σύστημα που περιλαμβάνει τέσσερις φορείς.

Εντ Μπελμπρούνο, ένας σύμβουλος σχεδιασμού τροχιών (και πρώην τροχιακός αναλυτής της JPL) που έχει συνεργαστεί με τον Frauenfelder, προειδοποιεί ότι οι εφαρμογές δεν είναι άμεσες. «Αν και μια μαθηματική τεχνική, όπως η συμπλεκτική γεωμετρία, μπορεί να καταλήξει σε τροχιές που είναι πραγματικά καλές, και μπορείτε να πάρετε μια ολόκληρη σειρά από αυτές, μπορεί να είναι ότι πολύ, πολύ λίγες, εάν υπάρχουν, ικανοποιούν τον περιορισμό» που μπορεί να χρειάζεται μια πραγματική αποστολή , αυτός είπε.

Αν και οι τροχιές του Clipper έχουν ήδη σε μεγάλο βαθμό διευθετηθεί, ο Moreno κοιτάζει προς τον επόμενο πλανήτη: τον Κρόνο. Έχει ήδη παρουσιάσει την έρευνά του σε σχεδιαστές αποστολών στο JPL που ελπίζουν να στείλουν ένα διαστημόπλοιο στο φεγγάρι του Κρόνου Εγκέλαδος. Ο Moreno ελπίζει ότι η συμπλεκτική γεωμετρία θα «γίνει μέρος της τυπικής εργαλειοθήκης διαστημικών αποστολών».