Η επανάληψη δεν χρειάζεται πάντα να είναι βαρετή. Στα μαθηματικά, είναι μια ισχυρή δύναμη, ικανή να δημιουργήσει απίστευτη πολυπλοκότητα.

Ακόμη και μετά από δεκαετίες μελέτης, οι μαθηματικοί δεν μπορούν να απαντήσουν σε ερωτήσεις σχετικά με την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση πολύ απλών κανόνων - των πιο βασικών «δυναμικών συστημάτων». Αλλά προσπαθώντας να το κάνουν, έχουν αποκαλύψει βαθιές συνδέσεις μεταξύ αυτών των κανόνων και άλλων φαινομενικά μακρινών περιοχών των μαθηματικών.

Για παράδειγμα, το σετ Mandelbrot, το οποίο I έγραψε για τον περασμένο μήνα, είναι ένας χάρτης του πώς λειτουργεί μια οικογένεια συναρτήσεων — που περιγράφεται από την εξίσωση f(x) = x² + c — συμπεριφέρεται ως αξία του c κυμαίνεται πάνω από το λεγόμενο μιγαδικό επίπεδο. (Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς, που μπορούν να τοποθετηθούν σε μια ευθεία, οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν δύο συνιστώσες, οι οποίες μπορούν να απεικονιστούν στο x- και y-άξονες ενός δισδιάστατου επιπέδου.)

Ανεξάρτητα από το πόσο κάνετε μεγέθυνση στο σετ Mandelbrot, πάντα προκύπτουν νέα μοτίβα, χωρίς όρια. «Με ενοχλεί εντελώς, ακόμη και τώρα, που αυτή η πολύ περίπλοκη δομή προκύπτει από τόσο απλούς κανόνες», είπε. Μάθιου Μπέικερ του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Γεωργίας. «Είναι μια από τις πραγματικά εκπληκτικές ανακαλύψεις του 20ου αιώνα».

Η πολυπλοκότητα του συνόλου Mandelbrot αναδεικνύεται εν μέρει επειδή ορίζεται ως προς τους αριθμούς που είναι και οι ίδιοι μιγαδικοί. Αλλά, ίσως παραδόξως, αυτή δεν είναι όλη η ιστορία. Ακόμη και όταν c είναι ένας απλός πραγματικός αριθμός όπως, ας πούμε, –3/2, μπορούν να συμβούν κάθε είδους παράξενα φαινόμενα. Κανείς δεν ξέρει τι συμβαίνει όταν εφαρμόζετε επανειλημμένα την εξίσωση f(x) = x² – 3/2, χρησιμοποιώντας κάθε έξοδο ως την επόμενη είσοδο σε μια διαδικασία γνωστή ως επανάληψη. Εάν ξεκινήσετε την επανάληψη από x = 0 (το «κρίσιμο σημείο» μιας τετραγωνικής εξίσωσης), δεν είναι σαφές εάν θα δημιουργήσετε μια ακολουθία που τελικά συγκλίνει προς έναν επαναλαμβανόμενο κύκλο τιμών ή μια ακολουθία που συνεχίζει να αναπηδά ασταμάτητα σε ένα χαοτικό μοτίβο.

Για τις τιμές των c μικρότερο από –2 ή μεγαλύτερο από 1/4, η επανάληψη εκτοξεύεται γρήγορα μέχρι το άπειρο. Αλλά μέσα σε αυτό το διάστημα, υπάρχουν άπειρες τιμές του c γνωστό ότι παράγει χαοτική συμπεριφορά και απείρως πολλές περιπτώσεις όπως –3/2, όπου «δεν ξέρουμε τι συμβαίνει, παρόλο που είναι εξαιρετικά συγκεκριμένο», είπε. Τζούλιο Τιότζο του Πανεπιστημίου του Τορόντο.

Αλλά στη δεκαετία του 1990, ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου Stony Brook Μίσα Λιούμπιτς, που έπαιξε εξέχουσα θέση στην έκθεσή μου για το σετ Mandelbrot, αποδείχθηκε ότι στο διάστημα μεταξύ –2 και 1/4, η συντριπτική πλειοψηφία των τιμών του c παράγουν ωραία «υπερβολική» συμπεριφορά. (Οι μαθηματικοί Jacek Graczyk και Grzegorz Swiatek αποδείχθηκε ανεξάρτητα το αποτέλεσμα περίπου την ίδια στιγμή.) Αυτό σημαίνει ότι οι αντίστοιχες εξισώσεις, όταν επαναλαμβάνονται, συγκλίνουν σε μία μόνο τιμή ή σε έναν επαναλαμβανόμενο κύκλο αριθμών.

Μια δεκαετία αργότερα, μια τριάδα μαθηματικών έδειξε ότι οι περισσότερες αξίες του c είναι υπερβολικά όχι μόνο για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αλλά για οποιαδήποτε οικογένεια πραγματικών πολυωνύμων (πιο γενικές συναρτήσεις που συνδυάζουν μεταβλητές αυξημένες σε δυνάμεις, όπως x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Και τώρα ένας από αυτούς, Σεμπάστιαν βαν Στριέν του Imperial College του Λονδίνου, πιστεύει ότι έχει μια απόδειξη αυτής της ιδιότητας για μια ακόμη ευρύτερη κατηγορία εξισώσεων που ονομάζονται πραγματικές αναλυτικές συναρτήσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν συναρτήσεις ημίτονο, συνημίτονο και εκθετικές συναρτήσεις. Ο Van Strien ελπίζει να ανακοινώσει το αποτέλεσμα τον Μάιο. Εάν αντέξει μετά την αξιολόγηση από ομοτίμους, θα σηματοδοτήσει μια σημαντική πρόοδο στον χαρακτηρισμό του τρόπου συμπεριφοράς των πραγματικών μονοδιάστατων συστημάτων.

Απίθανες διασταυρώσεις και εντροπία Bagels

Υπάρχουν άπειρες πραγματικές τετραγωνικές εξισώσεις που, όταν επαναλαμβάνονται από το μηδέν, είναι γνωστό ότι καταλήγουν να παράγουν έναν επαναλαμβανόμενο κύκλο αριθμών. Αν όμως περιορίσεις c σε ορθολογικές τιμές — αυτές που μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα — μόνο τρεις τιμές δημιουργούν τελικά περιοδικές ακολουθίες: 0, –1 και –2. «Αυτά τα δυναμικά συστήματα είναι πολύ, πολύ ιδιαίτερα», είπε Κλέιτον Πέτσε του Πολιτειακού Πανεπιστημίου του Όρεγκον.

In ένα χαρτί που δημοσιεύθηκε πέρυσι, Petsche και Chatchai Noytaptim του Πανεπιστημίου του Βατερλό απέδειξαν ότι είναι ακόμα πιο ξεχωριστοί από όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά. Οι μαθηματικοί εξέτασαν «εντελώς πραγματικούς» αριθμούς, οι οποίοι είναι πιο περιοριστικοί από τους πραγματικούς αριθμούς αλλά λιγότερο περιοριστικοί από τους ορθολογικούς.

Εάν συνδέσετε έναν αριθμό σε ένα πολυώνυμο και λάβετε έξοδο μηδέν, αυτός ο αριθμός είναι λύση ή ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, το 2 είναι ρίζα του f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, και άπειρες άλλες εξισώσεις. Τέτοια πολυώνυμα μπορεί να έχουν ρίζες που είναι πραγματικές ή ρίζες σύνθετες. (Για παράδειγμα, οι ρίζες του x² + 1 είναι η τετραγωνική ρίζα του –1, γραμμένη ως i, και -i — και οι δύο μιγαδικοί αριθμοί.)

Ένας αριθμός είναι εντελώς πραγματικός εάν ικανοποιεί μια πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που έχει μόνο πραγματικές ρίζες. Όλοι οι ορθολογικοί αριθμοί είναι εντελώς πραγματικοί, αλλά και ορισμένοι παράλογοι αριθμοί. Για παράδειγμα, το $latex sqrt{2}$ είναι απολύτως πραγματικό, επειδή είναι μια λύση για f(x) = x² – 2, που έχει μόνο πραγματικές ρίζες ($latex sqrt{2}$ και η «αδελφή» ρίζα του $latex -sqrt{2}$). Αλλά η κυβική ρίζα του 2, $latex sqrt[3]{2}$, δεν είναι εντελώς πραγματική. Είναι μια λύση για f(x) = x³ – 2, που έχει δύο επιπλέον αδελφές ρίζες, γνωστές και ως συζυγείς Galois, οι οποίες είναι σύνθετες.

Οι Petsche και Noytaptim απέδειξαν ότι δεν υπάρχουν παράλογοι εντελώς πραγματικοί αριθμοί που τελικά παράγουν περιοδικούς κύκλους. Αντίθετα, τα 0, –1 και –2 είναι οι μόνοι απόλυτα πραγματικοί αριθμοί που το κάνουν αυτό. Αντιπροσωπεύουν μια απίθανη τομή μεταξύ ιδιοτήτων από δύο φαινομενικά διαφορετικούς κόσμους - τη θεωρία αριθμών (η μελέτη των ακεραίων) και τα δυναμικά συστήματα. Οι Petsche και Noytaptim χρησιμοποίησαν σημαντικά αποτελέσματα από τη θεωρία αριθμών στην απόδειξή τους, τονίζοντας τη σύνδεση μεταξύ των δύο πεδίων.

Οι μαθηματικοί Xavier Buff και Σάρα Κοχ Βρέθηκαν άλλη μια απίθανη διασταύρωση. Έδειξαν ότι μόνο τέσσερις εντελώς πραγματικές τιμές του c — 1/4, –3/4, –5/4 και –7/4 — δημιουργούν ακολουθίες ενός συγκεκριμένου, καλά κατανοητού τύπου που ονομάζεται παραβολικός κύκλος.

Τα συζυγή Galois άνοιξαν επίσης το δρόμο για την ανακάλυψη ενός μυστηριώδους αντικειμένου που ονομάστηκε «bagel εντροπίας», ένας λαμπερός φράκταλ δακτύλιος στο μιγαδικό επίπεδο. Η εντροπία είναι ένα μέτρο της τυχαιότητας. Σε αυτό το πλαίσιο, μετρά πόσο δύσκολο είναι να προβλέψει κανείς την ακολουθία των αριθμών που δημιουργείται από την επανάληψη x² + c. Στην το τελευταίο χαρτί που έγραψε πριν πεθάνει το 2012, ο διάσημος τοπολόγος William Thurston παρουσίασε γραφικά το σύνολο των τιμών εντροπίας που αντιστοιχεί σε σχεδόν ένα δισεκατομμύριο διαφορετικές πραγματικές τιμές c — μαζί με τα συζυγή Galois αυτών των τιμών εντροπίας, που μπορεί να είναι σύνθετα. Η έννοια της εντροπίας «είναι ακριβώς στην πραγματική γραμμή, αλλά με κάποιο τρόπο μπορείτε ακόμα να δείτε αυτή τη σκιά του πολύπλοκου κόσμου», είπε ο Tiozzo.

«Βλέπετε ότι αυτό οργανώνεται σε αυτή την απίστευτη δαντελωτό φράκταλ δομή», είπε ο Κοχ. “Είναι τόσο ωραίο.” Το bagel εντροπίας είναι μόνο ένα πολύ περίπλοκο μοτίβο που προκύπτει από την επανάληψη πραγματικών τετραγωνικών εξισώσεων. «Ακόμα μαθαίνουμε όλες αυτές τις μαγικές δηλώσεις - μικροί πολύτιμοι λίθοι - για τα πραγματικά τετραγωνικά πολυώνυμα», πρόσθεσε. «Μπορείς πάντα να γυρίσεις πίσω και να εκπλαγείς από αυτό που νόμιζες ότι ήξερες πολύ καλά».