Ρίξτε ένα παγάκι σε ένα ποτήρι νερό. Πιθανότατα μπορείτε να φανταστείτε τον τρόπο με τον οποίο αρχίζει να λιώνει. Γνωρίζετε επίσης ότι ανεξάρτητα από το σχήμα που παίρνει, δεν θα το δείτε ποτέ να λιώνει σε κάτι σαν νιφάδα χιονιού, που αποτελείται παντού από αιχμηρές άκρες και λεπτές κορυφές.

Οι μαθηματικοί μοντελοποιούν αυτή τη διαδικασία τήξης με εξισώσεις. Οι εξισώσεις λειτουργούν καλά, αλλά χρειάστηκαν 130 χρόνια για να αποδειχθεί ότι συμμορφώνονται με προφανή δεδομένα για την πραγματικότητα. Τώρα, σε ένα χαρτί που δημοσιεύτηκε τον Μάρτιο, Alessio Figalli και Χοακίμ Σέρρα του Ελβετικού Ομοσπονδιακού Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Ζυρίχης και Xavier Ros-Oton του Πανεπιστημίου της Βαρκελώνης έχουν διαπιστώσει ότι οι εξισώσεις ταιριάζουν πραγματικά με τη διαίσθηση. Οι νιφάδες χιονιού στο μοντέλο μπορεί να μην είναι αδύνατες, αλλά είναι εξαιρετικά σπάνιες και εντελώς φευγαλέες.

"Αυτά τα αποτελέσματα ανοίγουν μια νέα προοπτική στο γήπεδο", είπε Μαρία Κολόμπο του Ελβετικού Ομοσπονδιακού Ινστιτούτου Τεχνολογίας Λωζάνης. «Δεν υπήρχε τόσο βαθιά και ακριβής κατανόηση αυτού του φαινομένου στο παρελθόν».

Το ερώτημα πώς λιώνει ο πάγος στο νερό ονομάζεται πρόβλημα Stefan, το οποίο πήρε το όνομά του από τον φυσικό Josef Stefan, ο οποίος θέτει είναι το 1889. Είναι το πιο σημαντικό παράδειγμα προβλήματος «ελεύθερων ορίων», όπου οι μαθηματικοί εξετάζουν πώς μια διαδικασία όπως η διάχυση της θερμότητας κάνει μια οριακή κίνηση. Σε αυτή την περίπτωση, το όριο είναι μεταξύ πάγου και νερού.

Για πολλά χρόνια, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να κατανοήσουν τα περίπλοκα μοντέλα αυτών των εξελισσόμενων ορίων. Για να σημειωθεί πρόοδος, η νέα εργασία αντλεί έμπνευση από προηγούμενες μελέτες για διαφορετικό τύπο φυσικού συστήματος: μεμβράνες σαπουνιού. Βασίζεται σε αυτά για να αποδείξει ότι κατά μήκος του εξελισσόμενου ορίου μεταξύ πάγου και νερού, σπάνια σχηματίζονται αιχμηρές κηλίδες, όπως ακμές ή άκρες, και ακόμη και όταν εμφανίζονται, εξαφανίζονται αμέσως.

Αυτά τα αιχμηρά σημεία ονομάζονται ιδιαιτερότητες και, όπως αποδεικνύεται, είναι τόσο εφήμερα στα ελεύθερα όρια των μαθηματικών όσο και στον φυσικό κόσμο.

Λειώνοντας κλεψύδρα

Σκεφτείτε, πάλι, ένα παγάκι σε ένα ποτήρι νερό. Οι δύο ουσίες αποτελούνται από τα ίδια μόρια νερού, αλλά το νερό βρίσκεται σε δύο διαφορετικές φάσεις: στερεό και υγρό. Υπάρχει ένα όριο όπου συναντώνται οι δύο φάσεις. Αλλά καθώς η θερμότητα από το νερό μεταφέρεται στον πάγο, ο πάγος λιώνει και το όριο κινείται. Τελικά, ο πάγος - και το όριο μαζί με αυτόν - εξαφανίζονται.

Η διαίσθηση μπορεί να μας πει ότι αυτό το όριο τήξης παραμένει πάντα ομαλό. Μετά από όλα, δεν κόβετε τον εαυτό σας σε αιχμηρές άκρες όταν τραβάτε ένα κομμάτι πάγου από ένα ποτήρι νερό. Αλλά με λίγη φαντασία, είναι εύκολο να φανταστείτε σενάρια όπου εμφανίζονται αιχμηρά σημεία.

Πάρτε ένα κομμάτι πάγου σε σχήμα κλεψύδρας και βυθίστε το. Καθώς ο πάγος λιώνει, η μέση της κλεψύδρας γίνεται πιο λεπτή και λεπτή έως ότου το υγρό τρώει σε όλη τη διαδρομή. Τη στιγμή που συμβαίνει αυτό, αυτό που κάποτε ήταν μια λεία μέση γίνεται δύο μυτερά άκρα, ή ιδιαιτερότητες.

"Αυτό είναι ένα από εκείνα τα προβλήματα που εκφράζει φυσικά ιδιαιτερότητες", είπε Τζουζέπε Μινγιόνε του Πανεπιστημίου της Πάρμας. «Είναι η φυσική πραγματικότητα που σου λέει αυτό.

Ωστόσο, η πραγματικότητα μας λέει επίσης ότι οι ιδιαιτερότητες ελέγχονται. Γνωρίζουμε ότι οι ακμές δεν πρέπει να διαρκούν πολύ, γιατί το ζεστό νερό πρέπει να τις λιώσει γρήγορα. Perhapsσως αν ξεκινήσατε με ένα τεράστιο μπλοκ πάγου χτισμένο εξ ολοκλήρου από κλεψύδρα, μπορεί να σχηματιστεί μια νιφάδα χιονιού. Αλλά ακόμα δεν θα διαρκέσει περισσότερο από μια στιγμή.

Το 1889 ο Στέφαν υπέβαλε το πρόβλημα σε μαθηματικό έλεγχο, γράφοντας δύο εξισώσεις που περιγράφουν το λιώσιμο πάγου. Το ένα περιγράφει τη διάχυση της θερμότητας από το ζεστό νερό στον ψυχρό πάγο, ο οποίος συρρικνώνει τον πάγο ενώ προκαλεί την επέκταση της περιοχής του νερού. Μια δεύτερη εξίσωση παρακολουθεί τη μεταβαλλόμενη διεπαφή μεταξύ πάγου και νερού καθώς προχωρά η διαδικασία τήξης. (Στην πραγματικότητα, οι εξισώσεις μπορούν επίσης να περιγράψουν την κατάσταση όπου ο πάγος είναι τόσο κρύος που προκαλεί το πάγωμα του περιβάλλοντος νερού - αλλά στην παρούσα εργασία, οι ερευνητές αγνοούν αυτήν την πιθανότητα.)

"Το σημαντικό είναι να καταλάβουμε πού οι δύο φάσεις αποφασίζουν να αλλάξουν από τη μία στην άλλη", δήλωσε ο Colombo.

Χρειάστηκαν σχεδόν 100 χρόνια έως ότου, στη δεκαετία του 1970, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι αυτές οι εξισώσεις έχουν μια σταθερή βάση. Δεδομένων ορισμένων συνθηκών εκκίνησης - περιγραφή της αρχικής θερμοκρασίας του νερού και του αρχικού σχήματος του πάγου - είναι δυνατό να εκτελέσετε το μοντέλο επ 'αόριστον για να περιγράψετε ακριβώς πώς η θερμοκρασία (ή μια στενά συνδεδεμένη ποσότητα που ονομάζεται αθροιστική θερμοκρασία) αλλάζει με το χρόνο.

Αλλά δεν βρήκαν τίποτα που να εμποδίζει το μοντέλο να φτάσει σε σενάρια που είναι απίθανα περίεργα. Οι εξισώσεις μπορεί να περιγράφουν ένα όριο πάγου-νερού που σχηματίζεται σε ένα δάσος με κορυφές, για παράδειγμα, ή μια απότομη νιφάδα χιονιού που παραμένει απόλυτα ακίνητη. Με άλλα λόγια, δεν μπορούσαν να αποκλείσουν το ενδεχόμενο το μοντέλο να βγάζει ανοησίες. Το πρόβλημα του Stefan έγινε πρόβλημα του να δείξουμε ότι οι ιδιαιτερότητες σε αυτές τις καταστάσεις είναι στην πραγματικότητα καλά ελεγχόμενες.

Διαφορετικά, θα σήμαινε ότι το μοντέλο τήξης του πάγου ήταν μια θεαματική αποτυχία - αυτή που είχε ξεγελάσει γενιές μαθηματικών να πιστεύουν ότι ήταν πιο συμπαγής από ό, τι είναι.

Έμπνευση σαπουνιού

Στη δεκαετία πριν οι μαθηματικοί αρχίσουν να κατανοούν τις εξισώσεις τήξης του πάγου, σημείωσαν τεράστια πρόοδο στα μαθηματικά των ταινιών σαπουνιού.

Εάν βυθίσετε δύο δακτυλίους σύρματος σε διάλυμα σαπουνιού και μετά τους χωρίσετε, σχηματίζεται μια μεμβράνη σαπουνιού μεταξύ τους. Η επιφανειακή τάση θα τραβήξει το φιλμ όσο πιο τεντωμένο γίνεται, σχηματίζοντάς το σε ένα σχήμα που ονομάζεται κατενοειδές-ένα είδος κυλινδρικού σπηλαίου. Αυτό το σχήμα σχηματίζεται επειδή γεφυρώνει τους δύο δακτυλίους με τη μικρότερη επιφάνεια, καθιστώντας το παράδειγμα αυτού που οι μαθηματικοί αποκαλούν ελάχιστη επιφάνεια.

Οι ταινίες σαπουνιού διαμορφώνονται από το δικό τους μοναδικό σύνολο εξισώσεων. Μέχρι τη δεκαετία του 1960, οι μαθηματικοί είχαν σημειώσει πρόοδο στην κατανόησή τους, αλλά δεν ήξεραν πόσο περίεργες θα μπορούσαν να είναι οι λύσεις τους. Όπως και στο πρόβλημα του Stefan, οι λύσεις μπορεί να είναι απαράδεκτα περίεργες, περιγράφοντας σαπούνι με αμέτρητες ιδιαιτερότητες που δεν μοιάζουν με τις ομαλές ταινίες που περιμένουμε.

Το 1961 και το 1962, ο Ennio De Giorgi, ο Wendell Fleming και άλλοι εφηύραν μια κομψή διαδικασία για να καθορίσουν εάν η κατάσταση με τις ιδιαιτερότητες ήταν τόσο κακή όσο φοβόταν.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια λύση στις εξισώσεις του φιλμ σαπουνιού που περιγράφει το σχήμα της μεμβράνης μεταξύ δύο οριακών επιφανειών, όπως το σύνολο των δύο δακτυλίων. Εστιάστε σε ένα αυθαίρετο σημείο στην επιφάνεια της ταινίας. Πώς φαίνεται η γεωμετρία κοντά σε αυτό το σημείο; Πριν μάθουμε κάτι γι 'αυτό, θα μπορούσε να έχει οποιοδήποτε είδος δυνατότητας να φανταστεί κανείς - από μια απότομη κορυφή μέχρι έναν ομαλό λόφο. Οι μαθηματικοί επινόησαν μια μέθοδο μεγέθυνσης στο σημείο, σαν να είχαν ένα μικροσκόπιο με άπειρη δύναμη. Απέδειξαν ότι καθώς μεγεθύνετε, το μόνο που βλέπετε είναι ένα επίπεδο επίπεδο.

"Πάντα. Αυτό ήταν », είπε η Ros-Oton.

Αυτή η επιπεδότητα υπονοούσε ότι η γεωμετρία κοντά σε αυτό το σημείο δεν θα μπορούσε να είναι μοναδική. Εάν το σημείο βρισκόταν σε μια ακμή, οι μαθηματικοί θα έβλεπαν κάτι περισσότερο σαν σφήνα και όχι ως επίπεδο. Και δεδομένου ότι επέλεξαν το σημείο τυχαία, θα μπορούσαν να συμπεράνουν ότι όλα τα σημεία της ταινίας πρέπει να μοιάζουν με ένα ομαλό επίπεδο όταν τα κοιτάζετε από κοντά. Το έργο τους καθιέρωσε ότι ολόκληρη η ταινία πρέπει να είναι ομαλή - χωρίς μαστίγια από ιδιαιτερότητες.

Οι μαθηματικοί ήθελαν να χρησιμοποιήσουν τις ίδιες μεθόδους για να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα του Στέφαν, αλλά σύντομα συνειδητοποίησαν ότι με τον πάγο, τα πράγματα δεν ήταν τόσο απλά. Σε αντίθεση με τις ταινίες σαπουνιού, που φαίνονται πάντα λείες, ο λιωμένος πάγος εμφανίζει πραγματικά ιδιαιτερότητες. Και ενώ μια ταινία σαπουνιού παραμένει σταθερή, η γραμμή μεταξύ πάγου και νερού είναι πάντα σε κίνηση. Αυτό έθεσε μια πρόσθετη πρόκληση που άλλος μαθηματικός θα αντιμετωπίσει αργότερα.

Από τις ταινίες στον πάγο

Το 1977, ο Λουίς Καφαρέλι εφευρέθηκε εκ νέου ένα μαθηματικό μεγεθυντικό φακό για το πρόβλημα Στέφαν. Αντί να κάνει ζουμ σε μια ταινία σαπουνιού, βρήκε πώς να μεγεθύνει στο όριο μεταξύ πάγου και νερού.

«Αυτή ήταν η μεγάλη διαίσθησή του», είπε η Mingione. «Ableταν σε θέση να μεταφέρει αυτές τις μεθόδους από τη θεωρία της ελάχιστης επιφάνειας του de Giorgi σε αυτό το γενικότερο περιβάλλον».

Όταν οι μαθηματικοί μεγεθύνασαν τις λύσεις στις εξισώσεις του φιλμ σαπουνιού, είδαν μόνο επιπεδότητα. Αλλά όταν ο Caffarelli έκανε μεγέθυνση στο παγωμένο όριο μεταξύ πάγου και νερού, έβλεπε μερικές φορές κάτι εντελώς διαφορετικό: παγωμένα σημεία που περιτριγυρίζονταν σχεδόν εξ ολοκλήρου από πιο ζεστό νερό. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούσαν σε παγωμένες ακμές - ιδιαιτερότητες - οι οποίες καθίστανται λανθασμένες από την υποχώρηση του ορίου τήξης.

Ο Caffarelli απέδειξε ότι υπάρχουν ιδιαιτερότητες στα μαθηματικά της τήξης του πάγου. Επινόησε επίσης έναν τρόπο εκτίμησης του αριθμού αυτών. Στο ακριβές σημείο μιας παγωμένης ιδιαιτερότητας, η θερμοκρασία είναι πάντα μηδέν βαθμοί Κελσίου, επειδή η ιδιαιτερότητα είναι φτιαγμένη από πάγο. Αυτό είναι ένα απλό γεγονός. Αλλά αξιοσημείωτα, ο Caffarelli διαπίστωσε ότι καθώς απομακρύνεστε από την ιδιαιτερότητα, η θερμοκρασία αυξάνεται με σαφή μοτίβο: Εάν μετακινήσετε μία μονάδα σε απόσταση από την ιδιαιτερότητα και στο νερό, η θερμοκρασία αυξάνεται κατά περίπου μία μονάδα θερμοκρασίας. Εάν μετακινήσετε δύο μονάδες μακριά, η θερμοκρασία αυξάνεται κατά περίπου τέσσερις.

Αυτό ονομάζεται παραβολική σχέση, γιατί αν γράψετε τη θερμοκρασία σε συνάρτηση της απόστασης, παίρνετε περίπου το σχήμα της παραβολής. Αλλά επειδή ο χώρος είναι τρισδιάστατος, μπορείτε να γράψετε τη θερμοκρασία σε τρεις διαφορετικές κατευθύνσεις που οδηγούν μακριά από την ιδιαιτερότητα, όχι μόνο μία. Η θερμοκρασία λοιπόν μοιάζει με τρισδιάστατη παραβολή, σχήμα που ονομάζεται παραβολικό.

Συνολικά, η διορατικότητα του Caffarelli παρείχε έναν σαφή τρόπο μεγέθυνσης των ιδιαιτεροτήτων κατά μήκος του ορίου πάγου-νερού. Οι ιδιαιτερότητες ορίζονται ως σημεία όπου η θερμοκρασία είναι μηδενικοί βαθμοί Κελσίου και τα παραβολικά περιγράφουν τη θερμοκρασία εντός και γύρω από την ιδιαιτερότητα. Επομένως, οπουδήποτε το παραβολικό ισούται με το μηδέν έχετε μια ιδιαιτερότητα.

Πόσα μέρη υπάρχουν λοιπόν όπου ένα παραβολικό μπορεί να ισούται με μηδέν; Φανταστείτε ένα παραβολικό που αποτελείται από μια ακολουθία παραβολών στοιβαγμένες η μία δίπλα στην άλλη. Παραβολίδια όπως αυτά μπορούν να λάβουν μια ελάχιστη τιμή - μια τιμή μηδέν - σε μια ολόκληρη γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μία από τις ιδιαιτερότητες που παρατήρησε ο Caffarelli θα μπορούσε στην πραγματικότητα να έχει το μέγεθος μιας γραμμής, μιας απείρως λεπτής παγωμένης άκρης και όχι μόνο ενός παγωμένου σημείου. Και δεδομένου ότι πολλές γραμμές μπορούν να συναρμολογηθούν για να σχηματίσουν μια επιφάνεια, το έργο του άφησε ανοιχτό το ενδεχόμενο ένα σύνολο μοναδικότητας να καλύψει ολόκληρη την οριακή επιφάνεια. Αν αυτό ήταν αλήθεια, θα σήμαινε ότι οι ιδιαιτερότητες στο πρόβλημα Στέφαν ήταν εντελώς εκτός ελέγχου.

«Θα ήταν καταστροφή για το μοντέλο. Πλήρες χάος », δήλωσε ο Figalli, ο οποίος κέρδισε το μετάλλιο Fields, υψηλότερη τιμή μαθηματικών, το 2018.

Ωστόσο, το αποτέλεσμα του Caffarelli ήταν μόνο το χειρότερο σενάριο. Καθιέρωσε το μέγιστο μέγεθος των δυνητικών ιδιαιτεροτήτων, αλλά δεν είπε τίποτα για το πόσο συχνά εμφανίζονται οι ιδιαιτερότητες στις εξισώσεις ή πόσο διαρκούν. Μέχρι το 2019, οι Figalli, Ros-Oton και Serra είχαν βρει έναν αξιόλογο τρόπο για να μάθουν περισσότερα.

Ατελή μοτίβα

Για να λύσουν το πρόβλημα του Stefan, οι Figalli, Ros-Oton και Serra έπρεπε να αποδείξουν ότι οι ιδιαιτερότητες που εμφανίζονται στις εξισώσεις ελέγχονται: Δεν υπάρχουν πολλές από αυτές και δεν διαρκούν πολύ. Για να γίνει αυτό, χρειάζονταν μια ολοκληρωμένη κατανόηση όλων των διαφορετικών τύπων ιδιομορφιών που θα μπορούσαν ενδεχομένως να σχηματιστούν.

Ο Caffarelli είχε σημειώσει πρόοδο στην κατανόηση του πώς αναπτύσσονται οι ιδιαιτερότητες καθώς λιώνει ο πάγος, αλλά υπήρχε ένα χαρακτηριστικό της διαδικασίας που δεν ήξερε πώς να αντιμετωπίσει. Αναγνώρισε ότι η θερμοκρασία του νερού γύρω από μια ιδιαιτερότητα ακολουθεί ένα παραβολικό μοτίβο. Αναγνώρισε επίσης ότι δεν ακολουθεί ακριβώς αυτό το μοτίβο - υπάρχει μια μικρή απόκλιση μεταξύ ενός τέλειου παραβολιδίου και του πραγματικού τρόπου εμφάνισης της θερμοκρασίας του νερού.

Οι Figalli, Ros-Oton και Serra μετατόπισαν το μικροσκόπιο σε αυτήν την απόκλιση από το παραβολικό μοτίβο. Όταν σμίκρυναν σε αυτή τη μικρή ατέλεια - ένας ψίθυρος δροσιάς που ξεπερνούσε τα όρια - ανακάλυψαν ότι είχε τα δικά του μοτίβα που προκάλεσαν διαφορετικούς τύπους ιδιαιτερότητας.

«Ξεπερνούν την παραβολική κλιμάκωση», είπε Σάντρο Σάλσα του Πολυτεχνικού Πανεπιστημίου του Μιλάνου. «Αυτό που είναι εκπληκτικό.»

Ταν σε θέση να δείξουν ότι όλοι αυτοί οι νέοι τύποι ιδιαιτερότητας εξαφανίστηκαν γρήγορα - όπως συμβαίνει στη φύση - εκτός από δύο που ήταν ιδιαίτερα αινιγματικοί. Η τελευταία τους πρόκληση ήταν να αποδείξουν ότι και οι δύο αυτοί τύποι εξαφανίζονται μόλις εμφανιστούν, αποκλείοντας την πιθανότητα να αντέξει κάτι σαν νιφάδα χιονιού.

Εξαφάνιση των ακμών

Ο πρώτος τύπος ιδιαιτερότητας είχε εμφανιστεί πριν, το 2000. Ένας μαθηματικός με το όνομα Frederick Almgren το είχε ερευνήσει σε ένα εκφοβιστικό χαρτί 1,000 σελίδων για ταινίες σαπουνιού, το οποίο δημοσιεύτηκε μόνο από τη σύζυγό του, Jean Taylor-άλλος ειδικός στις ταινίες σαπουνιού-μετά πέθανε.

Ενώ οι μαθηματικοί είχαν δείξει ότι οι ταινίες σαπουνιού είναι πάντα λείες σε τρεις διαστάσεις, ο Almgren απέδειξε ότι σε τέσσερις διαστάσεις, μπορεί να εμφανιστεί ένα νέο είδος «διακλαδισμένης» ιδιαιτερότητας, καθιστώντας τις σαπουνόφωτες αιχμηρές με περίεργους τρόπους. Αυτές οι ιδιαιτερότητες είναι βαθιά αφηρημένες και αδύνατο να τις απεικονίσουμε τακτοποιημένα. Ωστόσο, οι Figalli, Ros-Oton και Serra συνειδητοποίησαν ότι πολύ παρόμοιες ιδιαιτερότητες σχηματίζονται κατά μήκος του ορίου τήξης μεταξύ πάγου και νερού.

"Η σύνδεση είναι λίγο μυστηριώδης", είπε ο Serra. «Μερικές φορές στα μαθηματικά, τα πράγματα εξελίσσονται με απροσδόκητους τρόπους».

Χρησιμοποίησαν το έργο του Almgren για να δείξουν ότι ο πάγος γύρω από μία από αυτές τις διακλαδισμένες ιδιαιτερότητες πρέπει να έχει ένα κωνικό μοτίβο που μοιάζει με αυτό που συνεχίζετε να κάνετε ζουμ. Και σε αντίθεση με το παραβολικό μοτίβο για τη θερμοκρασία, το οποίο υπονοεί ότι μια μοναδικότητα μπορεί να υπάρχει σε μια ολόκληρη γραμμή , ένα κωνικό μοτίβο μπορεί να έχει μια απότομη μοναδικότητα μόνο σε ένα μόνο σημείο. Χρησιμοποιώντας αυτό το γεγονός, έδειξαν ότι αυτές οι ιδιαιτερότητες είναι απομονωμένες στο χώρο και στο χρόνο. Μόλις σχηματιστούν, έχουν φύγει.

Το δεύτερο είδος μοναδικότητας ήταν ακόμη πιο μυστηριώδες. Για να το καταλάβετε, φανταστείτε να βυθίσετε ένα λεπτό φύλλο πάγου στο νερό. Θα συρρικνωθεί και θα συρρικνωθεί και ξαφνικά θα εξαφανιστεί με τη μία. Αλλά ακριβώς πριν από εκείνη τη στιγμή, θα σχηματίσει ένα φύλλο μοναδικότητας, έναν τρισδιάστατο τοίχο τόσο αιχμηρό όσο ένα ξυράφι.

Σε ορισμένα σημεία, οι ερευνητές κατάφεραν να μεγεθύνουν για να βρουν ένα ανάλογο σενάριο: δύο μέτωπα πάγου να καταρρέουν προς το σημείο σαν να ήταν μέσα σε ένα λεπτό φύλλο πάγου. Αυτά τα σημεία δεν ήταν ακριβώς ιδιαιτερότητες, αλλά τοποθεσίες όπου επρόκειτο να σχηματιστεί μια ιδιαιτερότητα. Το ερώτημα ήταν αν τα δύο μέτωπα κοντά σε αυτά τα σημεία κατέρρευσαν ταυτόχρονα. Εάν συνέβαινε αυτό, μια μοναδικότητα σαν φύλλο θα σχηματιζόταν μόνο για μια τέλεια στιγμή πριν εξαφανιστεί. Τελικά, απέδειξαν ότι αυτό είναι στην πραγματικότητα πώς παίζει το σενάριο στις εξισώσεις.

«Αυτό με κάποιο τρόπο επιβεβαιώνει τη διαίσθηση», είπε Ντανιέλα Ντε Σίλβα του Barnard College.

Έχοντας δείξει ότι οι εξωτικές διακλαδώσεις και οι ιδιαιτερότητες των φύλλων ήταν σπάνιες, οι ερευνητές μπορούσαν να κάνουν τη γενική δήλωση ότι όλες οι ιδιαιτερότητες για το πρόβλημα του Στέφαν είναι σπάνιες.

"Εάν επιλέξετε τυχαία μια ώρα, τότε η πιθανότητα να δείτε ένα μοναδικό σημείο είναι μηδενική", είπε ο Ros-Oton.

Οι μαθηματικοί λένε ότι οι τεχνικές λεπτομέρειες της εργασίας θα χρειαστούν χρόνο για να αφομοιωθούν. Αλλά είναι πεπεισμένοι ότι τα αποτελέσματα θα θέσουν τις βάσεις για την πρόοδο σε πολλά άλλα προβλήματα. Το πρόβλημα Stefan είναι ένα θεμελιώδες παράδειγμα για ένα ολόκληρο υποπεδίο των μαθηματικών όπου κινούνται τα όρια. Όσο για το ίδιο το πρόβλημα Στέφαν, και τα μαθηματικά για το πώς λιώνουν τα παγάκια στο νερό;

«Αυτό είναι κλειστό», είπε η Σάλσα.