Lassen Sie einen Eiswürfel in ein Glas Wasser fallen. Sie können sich wahrscheinlich vorstellen, wie es zu schmelzen beginnt. Sie wissen auch, dass Sie, egal welche Form es annimmt, nie zu etwas wie einer Schneeflocke verschmelzen sehen, die überall aus scharfen Kanten und feinen Höckern besteht.

Mathematiker modellieren diesen Schmelzprozess mit Gleichungen. Die Gleichungen funktionieren gut, aber es hat 130 Jahre gedauert, um zu beweisen, dass sie den offensichtlichen Tatsachen der Realität entsprechen. Jetzt in a Papier veröffentlicht im März, Alessio Figalli und Joaquim Serra der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich und Xavier Ros-Oton der Universität Barcelona haben festgestellt, dass die Gleichungen wirklich der Intuition entsprechen. Schneeflocken im Modell sind vielleicht nicht unmöglich, aber sie sind extrem selten und völlig flüchtig.

„Diese Ergebnisse eröffnen eine neue Perspektive auf das Feld“, sagte Maria Colombo der Eidgenössischen Technischen Hochschule Lausanne. „Früher gab es kein so tiefes und genaues Verständnis dieses Phänomens.“

Die Frage, wie Eis in Wasser schmilzt, heißt Stefan-Problem, benannt nach dem Physiker Josef Stefan, der gestellt es im Jahr 1889. Es ist das wichtigste Beispiel für ein Problem der „freien Grenze“, bei dem Mathematiker überlegen, wie ein Prozess wie die Wärmediffusion eine Grenze bewegt. In diesem Fall liegt die Grenze zwischen Eis und Wasser.

Seit vielen Jahren versuchen Mathematiker, die komplizierten Modelle dieser sich entwickelnden Grenzen zu verstehen. Um Fortschritte zu erzielen, lässt sich die neue Arbeit von früheren Studien über eine andere Art von physikalischen Systemen inspirieren: Seifenfilme. Es baut darauf auf, um zu beweisen, dass sich entlang der sich entwickelnden Grenze zwischen Eis und Wasser selten scharfe Stellen wie Höcker oder Kanten bilden, und selbst wenn sie es tun, verschwinden sie sofort.

Diese scharfen Stellen werden Singularitäten genannt, und es stellt sich heraus, dass sie in den freien Grenzen der Mathematik ebenso kurzlebig sind wie in der physikalischen Welt.

Schmelzende Sanduhren

Betrachten Sie noch einmal einen Eiswürfel in einem Glas Wasser. Die beiden Stoffe bestehen aus den gleichen Wassermolekülen, aber das Wasser befindet sich in zwei verschiedenen Phasen: fest und flüssig. Dort, wo sich die beiden Phasen treffen, existiert eine Grenze. Aber wenn die Wärme des Wassers in das Eis übergeht, schmilzt das Eis und die Grenze verschiebt sich. Schließlich verschwindet das Eis – und damit auch die Grenze.

Die Intuition könnte uns sagen, dass diese Schmelzgrenze immer glatt bleibt. Schließlich schneidet man sich nicht an scharfen Kanten, wenn man ein Stück Eis aus einem Glas Wasser zieht. Aber mit ein wenig Fantasie sind Szenarien denkbar, in denen scharfe Stellen entstehen.

Nehmen Sie ein Stück Eis in Form einer Sanduhr und tauchen Sie es ein. Wenn das Eis schmilzt, wird die Taille der Sanduhr dünner und dünner, bis die Flüssigkeit vollständig aufgefressen ist. In dem Moment, in dem dies geschieht, werden aus einer einst glatten Taille zwei spitze Höcker oder Singularitäten.

„Dies ist eines dieser Probleme, das von Natur aus Singularitäten aufweist“, sagte Giuseppe Minione der Universität Parma. „Das sagt dir die physikalische Realität.

Doch die Realität sagt uns auch, dass die Singularitäten kontrolliert werden. Wir wissen, dass Höcker nicht lange halten sollten, weil das warme Wasser sie schnell schmelzen sollte. Wenn Sie mit einem riesigen Eisblock beginnen, der vollständig aus Sanduhren besteht, könnte sich vielleicht eine Schneeflocke bilden. Aber es würde immer noch nicht länger als einen Augenblick dauern.

1889 unterzog Stefan das Problem einer mathematischen Prüfung und stellte zwei Gleichungen auf, die das Schmelzen von Eis beschreiben. Eine beschreibt die Diffusion von Wärme aus dem warmen Wasser in das kühle Eis, wodurch das Eis schrumpft, während sich der Wasserbereich ausdehnt. Eine zweite Gleichung verfolgt die sich ändernde Grenzfläche zwischen Eis und Wasser während des Schmelzprozesses. (Tatsächlich können die Gleichungen auch die Situation beschreiben, in der das Eis so kalt ist, dass das umgebende Wasser gefriert – aber in der vorliegenden Arbeit ignorieren die Forscher diese Möglichkeit.)

„Wichtig ist, zu verstehen, wo die beiden Phasen entscheiden, von einer zur anderen zu wechseln“, sagte Colombo.

Es dauerte fast 100 Jahre, bis Mathematiker in den 1970er Jahren bewiesen, dass diese Gleichungen eine solide Grundlage haben. Unter bestimmten Startbedingungen – einer Beschreibung der Anfangstemperatur des Wassers und der Anfangsform des Eises – ist es möglich, das Modell auf unbestimmte Zeit laufen zu lassen, um genau zu beschreiben, wie sich die Temperatur (oder eine eng verwandte Größe, die kumulative Temperatur genannt wird) mit der Zeit ändert.

Aber sie fanden nichts, was das Modell daran hinderte, zu Szenarien zu gelangen, die unwahrscheinlich seltsam sind. Die Gleichungen könnten zum Beispiel eine Eis-Wasser-Grenze beschreiben, die sich zu einem Wald aus Gipfeln formt, oder eine scharfe Schneeflocke, die vollkommen still bleibt. Mit anderen Worten, sie konnten nicht ausschließen, dass das Modell Unsinn ausgeben könnte. Das Stefan-Problem wurde zu einem Problem, um zu zeigen, dass die Singularitäten in diesen Situationen tatsächlich gut kontrolliert werden.

Andernfalls wäre das Modell der Eisschmelze ein spektakulärer Fehlschlag – einer, der Generationen von Mathematikern vorgaukelte, es sei solider, als es ist.

Seifenlauge Inspiration

In dem Jahrzehnt, bevor Mathematiker die Gleichungen zum Schmelzen von Eis zu verstehen begannen, machten sie enorme Fortschritte in der Mathematik von Seifenfilmen.

Taucht man zwei Drahtringe in eine Seifenlauge und trennt sie dann voneinander, bildet sich zwischen ihnen ein Seifenfilm. Die Oberflächenspannung zieht den Film so straff wie möglich und formt ihn in eine Form, die als Katenoid bezeichnet wird – eine Art eingedrückter Zylinder. Diese Form entsteht, weil sie die beiden Ringe mit der geringsten Fläche überbrückt, was sie zu einem Beispiel für das macht, was Mathematiker a . nennen minimale Oberfläche.

Seifenfilme werden durch ihre eigenen einzigartigen Gleichungen modelliert. In den 1960er Jahren hatten Mathematiker Fortschritte darin gemacht, sie zu verstehen, aber sie wussten nicht, wie seltsam ihre Lösungen sein könnten. Genau wie beim Stefan-Problem könnten die Lösungen inakzeptabel seltsam sein, da sie Seifenfilme mit unzähligen Singularitäten beschreiben, die nicht den glatten Filmen entsprechen, die wir erwarten.

1961 und 1962 erfanden Ennio De Giorgi, Wendell Fleming und andere ein elegantes Verfahren, um festzustellen, ob die Situation mit Singularitäten so schlimm war wie befürchtet.

Angenommen, Sie haben eine Lösung für die Seifenfilmgleichungen, die die Form des Films zwischen zwei Grenzflächen beschreibt, wie die Menge zweier Ringe. Fokussieren Sie auf einen beliebigen Punkt auf der Filmoberfläche. Wie sieht die Geometrie in der Nähe dieses Punktes aus? Bevor wir etwas darüber wissen, könnte es jede erdenkliche Eigenschaft haben – alles von einer scharfen Spitze bis zu einem glatten Hügel. Mathematiker entwickelten eine Methode, um den Punkt zu vergrößern, als ob sie ein Mikroskop mit unendlicher Leistung hätten. Sie haben bewiesen, dass beim Heranzoomen nur eine flache Ebene zu sehen ist.

"Immer. Das war's“, sagte Ros-Oton.

Diese Ebenheit implizierte, dass die Geometrie in der Nähe dieses Punktes nicht singulär sein konnte. Befände sich der Punkt auf einer Spitze, würden Mathematiker eher einen Keil sehen, nicht eine Ebene. Und da sie den Punkt zufällig gewählt haben, konnten sie schlussfolgern, dass alle Punkte auf dem Film aus der Nähe wie eine glatte Ebene aussehen müssen. Ihre Arbeit stellte fest, dass der gesamte Film glatt sein muss – frei von Singularitäten.

Die Mathematiker wollten das Stefan-Problem mit den gleichen Methoden lösen, erkannten aber bald, dass die Dinge mit Eis nicht so einfach waren. Im Gegensatz zu Seifenfilmen, die immer glatt aussehen, weist schmelzendes Eis tatsächlich Singularitäten auf. Und während ein Seifenfilm an Ort und Stelle bleibt, ist die Grenze zwischen Eis und Wasser immer in Bewegung. Dies stellte eine zusätzliche Herausforderung dar, die später ein anderer Mathematiker angehen würde.

Von Filmen zu Eis

1977 erfand Luis Caffarelli eine mathematische Lupe für das Stefan-Problem neu. Anstatt einen Seifenfilm heranzuzoomen, fand er heraus, wie man die Grenze zwischen Eis und Wasser heranzoomt.

„Das war seine große Intuition“, sagte Mingione. „Er war in der Lage, diese Methoden aus der Minimaloberflächentheorie von de Giorgi auf diese allgemeinere Umgebung zu übertragen.“

Als Mathematiker Lösungen der Seifenfilmgleichungen heranzoomen, sahen sie nur Flachheit. Aber wenn Caffarelli die gefrorene Grenze zwischen Eis und Wasser heranzoomte, sah er manchmal etwas ganz anderes: gefrorene Stellen, die fast vollständig von wärmerem Wasser umgeben waren. Diese Punkte entsprachen eisigen Kuppen – Singularitäten – die durch das Zurückweichen der Schmelzgrenze gestrandet sind.

Caffarelli bewies, dass es Singularitäten in der Mathematik des schmelzenden Eises gibt. Er entwickelte auch eine Methode, um zu schätzen, wie viele es sind. Genau an der Stelle einer eisigen Singularität beträgt die Temperatur immer null Grad Celsius, da die Singularität aus Eis besteht. Das ist eine einfache Tatsache. Bemerkenswerterweise fand Caffarelli jedoch heraus, dass die Temperatur mit der Entfernung von der Singularität in einem klaren Muster ansteigt: Wenn Sie sich eine Einheit von einer Singularität weg und ins Wasser bewegen, steigt die Temperatur um ungefähr eine Temperatureinheit. Wenn Sie zwei Einheiten wegziehen, erhöht sich die Temperatur um ungefähr vier.

Dies wird als parabolische Beziehung bezeichnet, denn wenn Sie die Temperatur als Funktion der Entfernung grafisch darstellen, erhalten Sie ungefähr die Form einer Parabel. Da der Raum jedoch dreidimensional ist, können Sie die Temperatur in drei verschiedene Richtungen grafisch darstellen, die von der Singularität wegführen, nicht nur in einer. Die Temperatur sieht daher wie eine dreidimensionale Parabel aus, eine Form, die als Paraboloid bezeichnet wird.

Insgesamt lieferten Caffarellis Erkenntnisse eine klare Möglichkeit, Singularitäten entlang der Eis-Wasser-Grenze einzuschätzen. Singularitäten sind definiert als Punkte, an denen die Temperatur null Grad Celsius beträgt und Paraboloide beschreiben die Temperatur an und um die Singularität. Daher haben Sie überall dort, wo das Paraboloid gleich Null ist, eine Singularität.

Wie viele Stellen gibt es also, an denen ein Paraboloid gleich Null sein kann? Stellen Sie sich ein Paraboloid vor, das aus einer Folge von nebeneinander gestapelten Parabeln besteht. Paraboloide wie diese können einen Mindestwert – einen Wert von Null – entlang einer ganzen Linie annehmen. Dies bedeutet, dass jede der von Caffarelli beobachteten Singularitäten tatsächlich die Größe einer Linie, einer unendlich dünnen Eiskante, und nicht nur eines einzelnen Eispunkts haben könnte. Und da sich viele Linien zu einer Fläche zusammenfügen lassen, ließ seine Arbeit die Möglichkeit offen, dass eine Menge von Singularitäten die gesamte Grenzfläche ausfüllen könnte. Wenn dies wahr wäre, würden die Singularitäten im Stefan-Problem völlig außer Kontrolle geraten.

„Das wäre eine Katastrophe für das Model. Komplettes Chaos“, sagte Figalli, der gewann die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung der Mathematik, im Jahr 2018.

Das Ergebnis von Caffarelli war jedoch nur ein Worst-Case-Szenario. Es legte die maximale Größe der potentiellen Singularitäten fest, sagte aber nichts darüber aus, wie oft Singularitäten tatsächlich in den Gleichungen vorkommen oder wie lange sie dauern. Bis 2019 hatten Figalli, Ros-Oton und Serra einen bemerkenswerten Weg gefunden, um mehr herauszufinden.

Unvollkommene Muster

Um das Stefan-Problem zu lösen, mussten Figalli, Ros-Oton und Serra beweisen, dass Singularitäten, die in den Gleichungen auftauchen, kontrolliert werden: Es gibt nicht viele und sie halten nicht lange. Dazu brauchten sie ein umfassendes Verständnis all der verschiedenen Arten von Singularitäten, die sich möglicherweise bilden könnten.

Caffarelli hatte Fortschritte beim Verständnis der Entwicklung von Singularitäten beim Schmelzen von Eis gemacht, aber es gab ein Merkmal des Prozesses, das er nicht ansprechen konnte. Er erkannte, dass die Wassertemperatur um eine Singularität einem paraboloiden Muster folgt. Er erkannte auch, dass es nicht genau diesem Muster folgt – es gibt eine kleine Abweichung zwischen einem perfekten Paraboloid und dem tatsächlichen Aussehen der Wassertemperatur.

Figalli, Ros-Oton und Serra richteten das Mikroskop auf diese Abweichung vom Paraboloidmuster. Als sie sich diese kleine Unvollkommenheit näherten – ein Flüstern von Kühle, das von der Grenze wegwehte – entdeckten sie, dass sie ihre eigenen Arten von Mustern hatte, die zu verschiedenen Arten von Singularitäten führten.

„Sie gehen über die parabolische Skalierung hinaus“, sagte Sandro Salsa der Polytechnischen Universität Mailand. "Was erstaunlich ist."

Sie konnten zeigen, dass alle diese neuen Arten von Singularitäten – wie in der Natur – schnell verschwanden, mit Ausnahme von zwei besonders rätselhaften. Ihre letzte Herausforderung bestand darin, zu beweisen, dass diese beiden Arten auch verschwinden, sobald sie auftauchen, was die Möglichkeit ausschließt, dass so etwas wie eine Schneeflocke bestehen könnte.

Verschwindende Höcker

Die erste Art von Singularität war bereits im Jahr 2000 aufgetaucht. Ein Mathematiker namens Frederick Almgren hatte sie in einem einschüchternden 1,000-seitigen Papier über Seifenfilme untersucht, das erst danach von seiner Frau Jean Taylor – einem weiteren Experten für Seifenfilme – veröffentlicht wurde er starb.

Während Mathematiker gezeigt hatten, dass Seifenfilme in drei Dimensionen immer glatt sind, bewies Almgren, dass in vier Dimensionen eine neue Art von „verzweigender“ Singularität auftreten kann, die die Seifenfilme auf seltsame Weise scharf macht. Diese Singularitäten sind zutiefst abstrakt und können nicht sauber visualisiert werden. Figalli, Ros-Oton und Serra erkannten jedoch, dass sich entlang der Schmelzgrenze zwischen Eis und Wasser sehr ähnliche Singularitäten bilden.

„Die Verbindung ist ein bisschen mysteriös“, sagte Serra. „Manchmal entwickeln sich Dinge in der Mathematik auf unerwartete Weise.“

Sie nutzten Almgrens Arbeit, um zu zeigen, dass das Eis um eine dieser verzweigten Singularitäten ein konisches Muster haben muss, das beim weiteren Heranzoomen gleich aussieht , kann ein konisches Muster nur an einem einzigen Punkt eine scharfe Singularität aufweisen. Mit dieser Tatsache zeigten sie, dass diese Singularitäten in Raum und Zeit isoliert sind. Sobald sie sich bilden, sind sie weg.

Die zweite Art der Singularität war noch mysteriöser. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, stellen Sie sich vor, eine dünne Eisschicht in Wasser zu tauchen. Es schrumpft und schrumpft und verschwindet plötzlich auf einmal. Aber kurz vor diesem Moment wird es eine plattenförmige Singularität bilden, eine zweidimensionale Wand, scharf wie eine Rasierklinge.

An bestimmten Stellen gelang es den Forschern, heranzuzoomen, um ein analoges Szenario zu finden: Zwei Eisfronten kollabierten auf den Punkt zu, als befände er sich in einer dünnen Eisschicht. Diese Punkte waren nicht genau Singularitäten, sondern Orte, an denen sich eine Singularität bildete. Die Frage war, ob die beiden Fronten in der Nähe dieser Punkte gleichzeitig zusammenbrachen. Wenn das passierte, würde sich eine plattenförmige Singularität nur für einen perfekten Moment bilden, bevor sie verschwand. Am Ende haben sie bewiesen, dass sich das Szenario in den Gleichungen tatsächlich so abspielt.

„Das bestätigt irgendwie die Intuition“, sagte Daniela de Silva des Barnard College.

Nachdem die Forscher gezeigt hatten, dass sowohl die exotischen verzweigten als auch die blattförmigen Singularitäten selten waren, konnten die Forscher die allgemeine Aussage treffen, dass alle Singularitäten für das Stefan-Problem selten sind.

„Wenn Sie zufällig eine Zeit wählen, ist die Wahrscheinlichkeit, einen einzigen Punkt zu sehen, Null“, sagte Ros-Oton.

Die Mathematiker sagen, dass die technischen Details der Arbeit Zeit brauchen, um sie zu verdauen. Sie sind jedoch zuversichtlich, dass die Ergebnisse die Grundlage für Fortschritte bei zahlreichen anderen Problemen bilden werden. Das Stefan-Problem ist ein grundlegendes Beispiel für ein ganzes Teilgebiet der Mathematik, in dem sich Grenzen verschieben. Aber was das Stefan-Problem selbst betrifft und die Mathematik, wie Eiswürfel in Wasser schmelzen?

„Das ist geschlossen“, sagte Salsa.