قضى علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر عامًا مثيرًا من الاختراقات في نظرية المجموعات والطوبولوجيا والذكاء الاصطناعي ، بالإضافة إلى الحفاظ على المعرفة الباهتة وإعادة النظر في الأسئلة القديمة. لقد حققوا تقدمًا جديدًا في الأسئلة الأساسية في هذا المجال ، واحتفلوا بالروابط التي امتدت عبر مجالات الرياضيات البعيدة ، ورأوا الروابط بين الرياضيات والتخصصات الأخرى تنمو. لكن العديد من النتائج كانت مجرد إجابات جزئية ، وتبين أن بعض السبل الواعدة للاستكشاف كانت طريقًا مسدودًا ، تاركة العمل للأجيال القادمة (والحالية).

شهد الطوبولوجيون ، الذين قضوا بالفعل عامًا حافلًا ، إصدار كتاب هذا الخريف والذي يعرض أخيرًا بشكل شامل عملاً كبيرًا عمره 40 عامًا كان في خطر الضياع. اكتسبت أداة هندسية تم إنشاؤها قبل 11 عامًا حياة جديدة في سياق رياضي مختلف ، مما أدى إلى سد مجالات بحث متباينة. وعمل جديد في نظرية المجموعات جعل علماء الرياضيات أقرب إلى فهم طبيعة اللانهاية وكم عدد الأعداد الحقيقية الموجودة بالفعل. كان هذا مجرد سؤال واحد من العديد من الأسئلة في الرياضيات منذ عقود والتي تلقت إجابات - من نوع ما - هذا العام.

لكن الرياضيات لا توجد في فراغ. هذا الصيف، كوانتا غطت الحاجة المتزايدة لفهم رياضي لنظرية المجال الكمومي ، وهي واحدة من أنجح المفاهيم في الفيزياء. وبالمثل ، أصبحت أجهزة الكمبيوتر بشكل متزايد أدوات لا غنى عنها لعلماء الرياضيات ، الذين يستخدمونها ليس فقط لإجراء العمليات الحسابية ولكن لحل المشكلات المستحيلة بخلاف ذلك وحتى التحقق من البراهين المعقدة. وبما أن الآلات أصبحت أفضل في حل المشكلات ، فقد شهد هذا العام أيضًا تقدمًا جديدًا في فهم كيفية إتقانها لذلك.

من المغري التفكير في أن الدليل الرياضي ، بمجرد اكتشافه ، سيبقى إلى الأبد. لكن الطوبولوجيا المنبثقة الناتجة من عام 1981 كانت في خطر الضياع في الغموض ، حيث أن القليل من علماء الرياضيات المتبقين الذين فهموا ذلك تقدموا في السن وتركوا المجال. أظهر برهان مايكل فريدمان على حدسية بوانكاريه رباعية الأبعاد أن بعض الأشكال المتشابهة في بعض النواحي (أو "المكافئ المتماثل") للكرة رباعية الأبعاد يجب أن تكون مشابهة لها أيضًا بطرق أخرى ، مما يجعلها "متجانسة الشكل". (طوبولوجيون طرقهم الخاصة لتحديد متى يكون شكلان متماثلين أو متشابهين.) لحسن الحظ ، هناك كتاب جديد يسمى نظرية تضمين القرص ينشئ في ما يقرب من 500 صفحة المنطق الذي لا مفر منه لنهج فريدمان المفاجئ ويؤسس بحزم الاكتشاف في القانون الرياضي.

نتيجة رئيسية أخرى حديثة في الطوبولوجيا تضمنت تخمين Smale ، الذي يسأل عما إذا كانت التماثلات الأساسية للكرة رباعية الأبعاد هي ، بشكل أساسي ، جميع التماثلات التي يمتلكها. أثبت تاديوكي واتانابي أن الإجابة هي لا - توجد أنواع أخرى من التماثلات - وبذلك بدأ البحث عنها ، مع ظهور نتائج جديدة مؤخرًا في سبتمبر. كما طور اثنان من علماء الرياضيات "فلور مورافا K-نظرية، "إطار يجمع بين الهندسة العطفية والطوبولوجيا ؛ يؤسس العمل مجموعة جديدة من الأدوات للتعامل مع المشكلات في تلك المجالات ، ويثبت بشكل عابر تقريبًا وجود نسخة جديدة من مشكلة عمرها عقود تسمى تخمين أرنولد. كوانتا استكشف أيضًا أصول الطوبولوجيا نفسها باستخدام a العمود في يناير وشرح مكرس ل موضوع التنادد ذي الصلة.

سواء كانوا يساعدون علماء الرياضيات في الرياضيات أو يساعدون في تحليل البيانات العلمية ، فإن الشبكات العصبية العميقة ، وهي شكل من أشكال الذكاء الاصطناعي المبنية على طبقات من الخلايا العصبية الاصطناعية ، أصبحت أكثر تعقيدًا وقوة. كما أنها تظل غامضة: تقول نظرية التعلم الآلي التقليدية أن الأعداد الهائلة من المعلمات يجب أن تؤدي إلى فرط التجهيز وعدم القدرة على التعميم ، ولكن من الواضح أن شيئًا آخر يجب أن يحدث. اتضح أن نماذج التعلم الآلي القديمة والمفهومة بشكل أفضل ، والتي تسمى آلات النواة ، هي كذلك مكافئ رياضيا إلى الإصدارات المثالية من هذه الشبكات العصبية ، مما يقترح طرقًا جديدة لفهم - والاستفادة من - الصناديق الرقمية السوداء.

لكن كانت هناك انتكاسات أيضًا. تواجه الأنواع ذات الصلة من الذكاء الاصطناعي والمعروفة باسم الشبكات العصبية التلافيفية وقتًا عصيبًا للغاية التمييز بين الأشياء المتشابهة والمختلفة، وهناك فرصة جيدة أن يفعلوا ذلك دائمًا. وبالمثل ، أظهر العمل الأخير أن نزول التدرج - خوارزمية مفيدة لتدريب الشبكات العصبية وأداء مهام حسابية أخرى - هو مشكلة صعبة في الأساس، مما يعني أن بعض المهام قد تكون بعيدة المنال إلى الأبد. عانت الحوسبة الكمومية ، على الرغم من وعودها ، من نكسة كبيرة في مارس عندما ورقة رئيسية تم التراجع عن وصف كيفية إنشاء كيوبتات طوبولوجية مقاومة للخطأ ، مما أجبر العلماء الذين كانوا يأملون في السابق على إدراك أن مثل هذه الآلة قد تكون مستحيلة. (أبرز سكوت آرونسون ، في عمود وفيديو، فقط لماذا يصعب العمل مع أجهزة الكمبيوتر الكمومية ، وحتى التحدث عنها.)

كم عدد الأعداد الحقيقية الموجودة؟ لقد كان سؤالًا استفزازيًا - ولم يتم حله - لأكثر من قرن ، ولكن شهد هذا العام التطورات الرئيسية نحو إجابة. نشر David Asperó و Ralf Schindler إثباتًا في مايو يجمع بين بديهيتين متعارضتين سابقًا: هناك اختلاف في أحدهما ، يُعرف باسم Martin's max ، ويشير إلى الآخر ، المسمى (*) (يُنطق "بالنجم"). النتيجة تعني أن كلتا البديهيتين أكثر احتمالًا لأن تكون صحيحة ، وهذا بدوره يشير إلى أن عدد الأعداد الحقيقية أكبر مما كان يعتقد في البداية ، وهو ما يقابل الرقم الأساسي $ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $ بدلاً من الأصغر (حتى الآن) لانهائي) $ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $. هذا من شأنه أن يخالف فرضية الاستمرارية ، التي تنص على عدم وجود حجم لانهاية بين $ latexboldsymbol {aleph} _ {0} $ ، المقابلة لمجموعة من جميع الأعداد الطبيعية ، وسلسلة الأعداد الحقيقية. لكن لا يتفق الجميع ، بما في ذلك Hugh Woodin ، المبتكر الأصلي لـ (*) ، الذي نشر عملاً جديدًا يشير إلى أن فرضية الاستمرارية صحيحة بعد كل شيء.

لم تكن هذه هي المشكلة الوحيدة التي مضى عليها عقود من الزمن والتي أعيد النظر فيها بواسطة الحلول الحديثة. في عام 1900 ، توصل ديفيد هيلبرت إلى 23 سؤالًا مهمًا لم يتم حلها ، وشهد هذا العام نشر علماء الرياضيات إجابات غير كاملة للمسألة الثانية عشرة ، حول اللبنات الأساسية لأنظمة عدد معينة، والثالث عشر ، عن حلول كثيرات الحدود من الدرجة السابعة. وشهد فبراير أيضا إعلان ذلك حدسية الوحدة خاطئة، مما يعني أن المقلوبات المضاعفة موجودة بالفعل في هياكل أكثر تعقيدًا مما يعتقد علماء الرياضيات. وفي يناير اكتشف أليكس كونتوروفيتش ربما أكبر مشكلة لم تحل في الرياضيات ، وهي فرضية ريمان ، في مقال وفيديو.

في كثير من الأحيان ، لا يجيب التقدم الرياضي الكبير على سؤال رئيسي فحسب ، بل يوفر أيضًا وسيلة جديدة للاستكشاف لمحاولة مواجهة المشكلات الأخرى. ابتكر كل من Laurent Fargues و Jean-Marc Fontaine كائنًا هندسيًا جديدًا حوالي عام 2010 ساعد في بحثهما. ولكن عند دمجها مع أفكار Peter Scholze المحيطة بالمساحات المثالية ، اكتسب منحنى فارجيس فونتين أهمية موسعة، بالإضافة إلى ربط نظرية الأعداد والهندسة كجزء من برنامج لانجلاندز منذ عقود. قال شولتز: "إنه نوع من الثقوب الدودية بين عالمين مختلفين".

تضمنت تأملات أخرى حول برنامج لانجلاندز مقابلة مع آنا كارياني، الذي ساعد عمله في تقوية وتحسين الروابط المتشابهة بين مجالات الرياضيات المتباينة ، واختبار مجموعات غالوا التناظرات في قلب تخمينات لانجلاندز الأصلية.

تشتهر أنظمة العالم الحقيقي بأنها معقدة ، وتساعد المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) الباحثين على وصفها وفهمها. لكن من المعروف أيضًا أن أجهزة PDE يصعب حلها. نوعان جديدان من الشبكات العصبية - DeepONet والمشغل العصبي Fourier - ظهرت لجعل هذا العمل أسهل. كلاهما لديه القدرة على تقريب المشغلين ، والتي يمكن أن تحول الوظائف إلى وظائف أخرى ، مما يسمح بشكل فعال للشبكات برسم مساحة لا نهائية الأبعاد على مساحة أخرى غير محدودة الأبعاد. تعمل الأنظمة الجديدة على حل المعادلات الحالية بشكل أسرع من الطرق التقليدية ، وقد تساعد أيضًا في توفير أجهزة PDE للأنظمة التي كانت في السابق معقدة للغاية بحيث لا يمكن تصميمها.

في الواقع ، أثبتت أجهزة الكمبيوتر أنها مفيدة لعلماء الرياضيات بطرق مختلفة هذا العام. في يناير، كوانتا تم الإبلاغ عن خوارزميات جديدة لأجهزة الكمبيوتر الكمومية من شأنها أن تسمح لهم بمعالجة الأنظمة غير الخطية ، حيث يمكن أن تؤثر التفاعلات على أنفسهم ، عن طريق تقريبهم أولاً أبسط ، خطية. واصلت أجهزة الكمبيوتر أيضًا دفع البحث الرياضي إلى الأمام عندما استخدم فريق من علماء الرياضيات الأجهزة والخوارزميات الحديثة لإثبات وجود لا مزيد من أنواع خاصة رباعي السطوح من تلك التي تم اكتشافها قبل 26 عامًا ، و- بشكل أكثر دراماتيكية- عندما تحقق مساعد إثبات رقمي يُدعى Lean من صحة برهان حديث غامض.

لطالما كانت الفيزياء والرياضيات متداخلة ، مما يلهم ويدفع بعضهما البعض. لقد كان مفهوم نظرية المجال الكمي ، وهو نظام جامع يستخدمه علماء الفيزياء لوصف الأطر التي تتضمن مجالات كمومية ، ناجحًا بشكل كبير ، لكنه يرتكز على أرضية رياضية مهتزة. إن استخدام الصرامة الرياضية في نظرية المجال الكمومي من شأنه أن يساعد الفيزيائيين على العمل في هذا الإطار وتوسيعه ، لكنه سيعطي علماء الرياضيات أيضًا مجموعة جديدة من الأدوات والهياكل ليلعبوا بها. في سلسلة من أربعة أجزاء ، كوانتا فحص القضايا الرئيسية حاليًا في طريق علماء الرياضيات ، استكشافها قصة نجاح على نطاق أصغر في بعدين ، ناقش الاحتمالات مع أخصائي QFT ناثان سيبرغ، وأوضح في مقطع فيديو أبرزها QFT على الإطلاق: النموذج القياسي.